# An introduction to programming the meshless Element F reeGalerkin method

by ,
Archives of Computational Methods in Engineering ()
or

#### Abstract

A detailed description of the Element Free Galerkin (EFG) method and its numerical implementation is presented with the goal of familiarizing scientists and engineers with the new computational technique. In this spirit, an in-depth explanation of the essential concepts which comprise the method is given with specific emphasis on the one-dimensional formulation. First, the EFG algorithm for a one-dimensional problem in linear elastostatics is given; the results are compared to those achievable with standard finite element techniques. A step by step explanation of the MATLAB program used to solve the problem is given with specific references to the EFG method in one-dimension. Next, a simplified two-dimensional implementation to linear elastostatics is described. Results are calculated with the method and the aid of a two-dimensional MATLAB EFG program, and conclusions are drawn about the method and its capabilities. The source programs used to solve both the one-dimensional and two-dimensional problems are provided in the Appendices and are available on the web.

Page 1

# An introduction to programming th...

���� 5 7 4 998 A��chi�� e�� ��f C����������a��i����a�� e��h�� d�� i�� E��gi��ee��i��g ��a��e ��f ��he a���� ��e��ie���� A�� �������� d��c��i���� ���� ����g��a����i��g ��he e��h��e���� E��e��e���� F ��eeGa��e��ki�� e��h�� d D����b �� �� a��d Be��������chk�� ������h �� e����e���� ��i�� e����i���� De��a������e�� �� ��f Ci��i�� E��gi��ee��i��g 45 he��ida�� ��ad E��a���������� 68 9 A ������a���� A de��ai��ed de��c��i����i���� ��f ��he E��e��e���� F��ee Ga��e��ki��EF G ��e��h�� d a��d i���� �� ����e��ica�� i������e��e�� ��a��i���� i�� ����e��e����ed ��i��h ��he g��a�� ��f fa��i��ia��i��i��g ��cie�� ��i������ a��d e��gi��ee���� ��i��h ��he ��e�� c����������a��i����a�� ��ec h��i����e �� ��hi�� ����i��i�� a�� i�� de����h e������a��a��i���� ��f ��he e����e����ia�� c����ce������ ��hic h c��������i��e ��he ��e��h�� d i�� gi�� e�� ��i��h ���� eci��c e����ha��i�� ���� ��he ����e di��e����i����a�� f������ ����a��i���� Fi������ ��he EF G a��g����i��h�� f���� a ����e di��e����i����a�� ������b��e�� i�� ��i��ea�� e��a����������a��ic�� i�� gi�� e�� ��he ��e���������� a��e c������a��ed ���� ��h����e ac hie��ab��e ��i��h ����a��da��d ����i��e e��e��e���� ��ech��i����e�� A ����e�� b �� ����e�� e������a��a��i���� ��f ��he A AB ������g��a�� ����ed ���� �������� e ��he ������b��e�� i�� gi��e�� ��i��h ���� eci��c ��efe��e��ce�� ���� ��he EF G ��e��h�� d i�� ����e di��e����i���� e���� a ��i������i��ed �� �� �� di��e����i����a�� i������e��e�� ��a��i���� ���� ��i��ea�� e��a����������a��ic�� i�� de��c��ib ed e���������� a��e ca��c����a��ed ��i��h ��he ��e��h�� d a��d ��he aid ��f a ���� �� di��e����i����a�� A AB EF G ������g��a�� a��d c����c������i������ a��e d��a ���� ab ������ ��he ��e��h�� d a��d i���� ca��abi��i��ie�� he ��������ce ������g��a���� ����ed ���� �������� e b ����h ��he ����e di��e����i����a�� a��d �� �� �� di��e����i����a�� ������b��e���� a��e ������ ��ided i�� ��he A���� e��dice�� a��d a��e a ��ai��ab��e ���� ��he ��eb DC he ����i��e e��e��e���� ��e��h�� d f���� ��he ���� de��i��g ��f c��������e�� ������b��e���� i�� a������ied ��echa��ic�� a��d ��e��a��ed ��e��d�� i�� �� e���� e����ab��i��hed �� i�� a ����b������ a��d ��h��������gh���� de�� e������ ed ��ec h��i����e b���� i�� i�� ������ ��i��h������ ��h������c����i��g�� he ��e��ia��ce ��f ��he ��e��h�� d ���� a ��e��h ��ead�� ���� c��������ica��i������ f���� ce����ai�� c��a����e�� ��f ������b��e���� C������ide�� ��he ���� de��i��g ��f ��a��ge def������a��i���� ������ ce����e�� c������ide��ab��e �������� i�� acc����ac�� a��i��e�� ��he�� ��he e��e��e������ i�� ��he ��e��h b ec����e e������e��e���� ��ke�� ed ���� c��������e����ed he g���� ����h ��f c��ac k�� ��i��h a��bi����a���� a��d c��������e�� ��a��h�� a��d ��he ��i������a��i���� ��f ��ha��e ����a����f������a��i������ i�� a������ diAEc������ he ����e ��f a ��e��h i�� ���� de��i��g ��he��e ������b��e���� c��ea��e�� diAEc������ie�� i�� ��he ����ea����e���� ��f di��c���� ��i����i��ie�� ��hic h d�� ������ c��i��cide ��i��h ��he ����igi��a�� ��e��h ��i��e�� he ����adi��i����a�� ��ec h��i����e f���� ha��d��i��g ��he��e c��������ica��i������ i�� ���� ��e��e��h ��he d����ai�� ��f ��he ������b��e�� a�� e�� e���� ����e�� d����i��g ��he e�� ��������i���� ��f ��he ��i�� ����a��i���� hi�� ����e�� e������ ��he ��e��e��e di����������i���� ��f e��e��e�� ���� a��d a������ ���� ��e��h ��i��e�� ���� ��e��ai�� c��i��cide�� �� ��i��h a���� di��c���� ��i����i��ie�� ��h������gh������ ��he e�� ��������i���� ��f ��he ������b��e�� F ���� ��hi�� �������� ����e ��e�� e��a�� c��������e�� a��d ����b������ ��e��h ge��e��a��i���� ��������i��e�� ha ��e b ee�� de�� e������ ed ���� e��e�� ��hi�� ��ech��i����e ��e����i��e�� ��he ������ jec��i���� ��f ��e��d �� a��iab��e�� b e�� �� ee�� ��e��he�� i�� ����cce����i�� e ����age�� ��f ��he ������b��e�� ��hic h ��ead�� ���� ����gi����ica�� ������b��e���� a�� �� e���� a�� a deg��ada��i���� ��f acc����ac�� �� addi��i���� f���� ��a��ge ��h��ee di��e����i����a�� ������b��e���� ��he c����������a��i����a�� c������ ��f ��e��e��hi��g a�� each ����e�� ��f ��he ������b��e�� b ec����e�� ������hibi��i�� e���� e���� e����i�� e �� a��e��i����a��e ��he��e diAEc������ie�� a ��e�� c��a���� ��f ��e��h�� d�� ha ��e ��ece�������� b ee�� de�� e������ ed ��hic h d�� ������ ��e����i��e a ��e��h ���� di��c��e��i��e ��he ������b��e�� he��e a��e ��e��h�� d�� i�� ��hich ��he a�������� ��i��a��e ����������i���� i�� c������������c��ed e�� ��i��e���� i�� ��e������ ��f a ��e�� ��f ���� de�� a��d ���� e��e��e������ ���� cha��ac��e��i��a��i���� ��f ��he i�� ��e����e��a��i������hi�� ��f ��he ���� de�� i�� ��eeded ���� c������������c�� ��he di��c��e��e e����a��i������ �� i�� ��he�� �� ������ib��e ���� de�� e������ di��c��e��e e����a��i������ f������ a ��e�� ��f ���� de�� a��d a de��c��i����i���� ��f ��he i�� ��e����a�� a��d e����e����a�� ������face�� ��f ��he ���� de�� F ���� ��he ��a����e�� �������� ����e a CAD de��c��i����i���� ����c h a�� a ���� de�� i�� ��h��ee di��e����i������ ��a�� b e ����ed ���� ��e��h��e���� ��e��h�� d�� ��a�� ����e��c����e ��a���� ��f ��he diAEc������ie�� a������ cia��ed ��i��h ��e��hi��g f���� ��h��ee di��e����i����a�� a��a������e�� c - 998 b�� CE Ba��ce������a ��ai�� : 4��6 ecei�� ed: ����e 996
Page 2
8 D����b ���� a��d Be��������chk�� he ����i��ci��a�� a������ac��i���� ��f ��e��h��e���� ��e��h�� d�� i�� ��he �� ������ibi��i���� ��f ��i������if��i��g ada����i��i�� �� a��d ������b��e���� ��i��h ������i��g b ������da��ie�� a��d di��c���� ��i����i��ie�� ����c h a�� ��ha��e c ha��ge�� ���� c��ac k�� �� c��ack g��������h ������b��e���� f���� e��a������e ���� de�� ca�� b e added a��������d a c��ack ��i�� ���� ca��������e ��he ������e���� i�� ��e����i���� fac�������� ��i��h ��he de��i��ed acc����ac�� ��hi�� ���� da�� ��e����e��e���� ca�� b e ������ed ��i��h a ��������aga��i��g c��ac k ��h������gh a bac kg��������d a����a��ge��e�� �� ��f ���� de�� a������ cia��ed ��i��h ��he g����ba�� ge����e������ Ada����i�� e ��e��hi��g f���� a ��a��ge �� a��ie���� ��f ������b��e���� i��c����di��g ��i��ea�� a��d ��������i��ea�� ������e���� a��a������e�� ca�� b e e��ec��i�� e���� ����ea��ed b �� ��he��e ��e��h�� d�� i�� a ��i������e ��a����e�� hi�� ��a�� e�� ����e��e�� ���� ��he de��ai���� ��f ����e f������ ��f ��e��h��e���� ��e��h�� d�� ��he e��e��e�� �� f��ee Ga��e��ki�� EFG ��e��h�� d de��e������ ed b �� Be��������chk�� e�� a�� [? ] he ��e��h�� d ��ha��e�� e����e����ia�� cha��ac��e��i����ic�� ��i��h ��a�� �� ����he�� ��e��h��e���� ��e��h�� d��: e������ d��ci��g e����e�� a����ic��e e��h�� d�� i�� e�� a�� [?] h�� c������d�� D��a����e a��d de�� [? ] ����i��e �� ��i�� �� ��e��h�� d��a��e e�� a�� [?] a��d ������ ����h ��a����ic��e h ��d���� d����a��ic������agha�� [ ? ] F ���� a ��e��ie�� ��f ��he��e ��e��h�� d�� ��ee Be��������c hk�� e�� a�� [?] he ai�� ��f ��hi�� ��a�� e�� i�� ���� ��������ide ��he de��ai���� ��f ��he i������e��e����a��i���� ��f EF G i��c����di��g i���� ������g��a����i��g f���� ��cie����i������ a��d e��gi��ee���� he de��ai���� ��f ��he ��e��h�� d a��e �������� e������ici������ ��������i��ed f���� ����e di��e����i����a�� ������b��e���� he e����e�� ��ia�� c����ce������ ��i���� b e de��c��ib ed i�� ��he c������e���� ��f a ����e di��e����i����a�� ������b��e�� i�� e��a����������a��ic�� b���� ��he di��e��e��ce�� f������ ����he�� e����i����ic ��ec����d ����de�� DE�� a��e i����ig��i��ca���� �� addi��i���� a�� EF G ������g��a�� ����i����e�� i�� AAB f���� a ����e di��e����i����a�� ������b��e�� i�� ��������ided a��d e������ai��ed i�� de��ai�� ��ce ��he ba��ic c����ce������ a��e ����de�������� �� d ��he ��e��h�� d i�� ea��i���� e����e��ded ���� ������ a��d ��h��ee di��e����i������ he��e a��e ������e ����b����e di��e��e��ce�� b e���� ee�� ��he �� �� �� di��e����i����a�� a��d ����e di��e����i����a�� f����������a��i���� a��d ��he��e ��i���� b e di��c������ed he�� a ������b��e�� i�� ���� �� di��e����i����a�� ��i��ea�� e��a����������a��ic�� ��i���� b e �������� ed ��i��h ��he ��e��h�� d a��d ��he aid ��f a �� �� �� di��e����i����a�� EFG ������g��a�� he di��e��e��ce�� b e���� ee�� ��he D a��d D ������g��a���� ��i���� b e ��������i��ed a��d ��he ��e���������� ��i���� b e c������a��ed ���� ��h����e achie��ab��e ��i��h ����a��da��d ����i��e e��e��e���� ��e��h�� d�� hi�� ��a�� e�� i�� ����ga��i��ed a�� f�������� ���� �� ec��i���� ��he de��ai���� ��f ��he EFG ��e��h�� d i�� ����e di��e����i���� a��e ����e��e�� ��ed �� ec��i���� a�� e��a������e ������b��e�� i�� ����e di��e����i����a�� ��i��ea�� e��a����ici���� i�� ��������ided a������g ��i��h a c������a��i������ b e���� ee�� ��he e��ac�� ����������i���� a��d ��he �� ����e��ica�� ����������i���� ge��e��a��ed b �� ��he D EF G ������g��a���� ec��i���� 4 ��he ����e���� ��f ��he ������g��a�� ����ed ���� ��������e ��hi�� ������b��e�� a��e ��������i��ed ��i��h ���� eci��c ��efe��e��ce�� ���� ��he EF G ��e��h�� d i�� ����e di��e����i���� he e����e����i���� ��f ��he ��e��h�� d ���� ���� �� di��e����i������ i�� ��������i��ed i�� ec��i���� 5 a��d ��he ���� �� di��e����i����a�� e��a������e i�� ��������i��ed i�� ec��i���� 6 he e������a��a��i���� ��f ��he �� �� �� di��e����i����a�� ������g��a�� ����ed ���� �������� e ��hi�� ������b��e�� i�� ������ ��ided i�� ec��i���� 7 a������g ��i��h a -���� cha���� C����c������i������ a��d di��c������i������ a��e gi�� e�� i�� ec��i���� 8 A���� e��dice�� A a��d B c������ai�� ��he A AB ��������ce ������g��a���� f���� ��he D a��d D EF G ������g��a���� ��e���� ec��i��e���� he��e ������g��a���� a��e a������ a��ai��ab��e a�� ��he �� eb��i��e: h ������:��������a���� ����ed��jedEF G������g��a����h������ EFG ED E DE he e��e��e�� �� f��ee Ga��e��ki�� EF G ��e��h�� d i�� a ��e��h��e���� ��e��h�� d b eca����e �������� a ��e�� ��f ���� de�� a��d a de��c��i����i���� ��f ��he ���� de���� b ������da���� a��e ��e����i��ed ���� ge��e��a��e ��he di��c��e��e e����a��i������ he c������ec��i��i���� b e���� ee�� ��he ���� de�� a��d ��he a�������� ��i��a��i���� f����c��i������ a��e c��������e��e���� c���� ��������c��ed b �� ��he ��e��h�� d he EFG ��e��h�� d e������������ ������i��g ��ea���� ������a��e a����������i��a�� ���� ���� a�������� ��i��a��e ��he f����c��i���� �� �� ��i��h �� h �� he��e a�������� ��i��a�� ���� a��e c������������c��ed f������ ��h��ee c������ ����e������: a ��eigh�� f����c��i���� ��f c������ac�� �������������� a������ cia��ed ��i��h each ���� de a ba��i�� ������a������ c������i����i��g ��f a �� ������������ia�� a��d a ��e�� ��f c��eAEcie������ ��ha�� de�� e��d ���� �� ����i��i���� he ��eigh�� f����c��i���� i�� ��������e���� �������� �� ��e�� a ����a���� ����b d����ai�� a��������d a ���� de ��hich i�� ca����ed i���� �������� ������ he �������� ������ ��f ��he ��eigh�� f����c��i���� de����e�� a ���� de�� d����ai�� ��f i��-��e��c e ��hich i�� ��he ����b d����ai�� ����e�� ��hic h a ��a����ic����a�� ���� de c���� ����ib����e�� ���� ��he a�������� ��i��a��i���� he ����e����a�� ��f ��he ���� da�� d����ai���� ��f i��-��e��ce de����e�� ��he ���� da�� c������ec��i��i����
Page 3
A�� �������� d��c��i���� ���� ����g��a����i��g ��he e��h��e���� E��e��e���� F��ee Ga��e��ki�� e��h�� d 9 ��e a������ac��i��e �������� e������ ��f a�������� ��i��a�� ���� i�� ��ha�� ��hei�� c���� ��i����i���� i�� ��e��a��ed ���� ��he c������i����i���� ��f ��he ��eigh�� f����c��i����: if ��he c���� ��i����i���� ��f ��he ba��i�� i�� g��ea��e�� ��ha�� ��he c������i����i���� ��f ��he ��eigh�� f����c��i���� ��he ��e��������i��g a�������� ��i��a��i���� ��i���� i��he��i�� ��he c���� ��i����i���� ��f ��he ��eigh�� f����c��i���� he��ef����e a ������ ����de�� �� ������������ia�� ba��i�� eg a ��i��ea�� ba��i�� ��a�� b e ����ed ���� ge��e��a��e high���� c������i���������� a�������� ��i��a��i������ b�� ch�� ����i��g a�� a������������ia��e ��eigh�� f����c��i���� h ���� �� ������ ������ ce����i��g ���� ge��e��a��e ������ ����h ������e���� a��d ������ai�� ��e��d�� ��hic h i�� ��e����i��ed f���� C ����i��e e��e��e�� �� ��e��h�� d�� i�� ������ece����a���� i�� EFG A����h����gh EF G i�� c������ide��ed ��e��h��e���� ��he�� ��efe����i��g ���� ��ha�� e f����c��i���� c������������c��i���� ���� f����c��i���� a�������� ��i��a��i���� a ��e��h ��i���� b e ��e����i��ed f���� ��������i��g ��a����ia�� di��e��e����ia�� e����a��i������ DE�� b �� ��he Ga��e��ki�� a�������� ��i��a��i���� ������ ced����e �� ����de�� ���� c����������e ��he i�� ��eg��a���� i�� ��he �� eak f������ ei��he�� a ��eg����a�� bac kg��������d ��e��h ���� a bac kg��������d ce���� ��������c������e i�� ����ed hi�� ��ec��i���� de��c��ib e�� ��he c������������c��i���� ��f a����������i��a�� ���� a��d ��he ��e��������i��g EF G ��ha�� e f����c��i������ i�� ����e di��e����i���� �� ��he ������ ce���� ��he e��ec�� ��f di��e��e���� ��eigh�� f����c��i������ ���� ��he i�� ��e���� ����a�� ���� i�� i������������a��ed he Ga��e��ki�� ������ ced����e ���� de�� e������ ��he di��c��e��e e����a��i������ f���� ����e di��e����i����a�� e��a����������a��ic�� i�� a������ de��c��ib ed A����������i��a������ C������ide�� ��he di��c��e��i��a��i���� ��f ��he d����ai�� �� gi��e�� b�� a ��e�� ��f e��e������ ����aced ���� de�� Eac h ���� de ha�� a c������e���� ����di��g ���� da�� ��a��a��e��e�� ���� �� a������ cia��ed ��i��h i�� ��hic h i�� a ��a��a��e��e�� g�� ��e����i��g ��he f����c��i���� �� �� a�� ��ha�� �� ��i���� b���� i�� ge��e��a�� �� = �� �� hi�� ���� de�� ��i���� b e ����ed ���� b ����h ��������e ��he ������b��e�� i�� e��a����������a��ic�� a��d ���� i������������a��e ��he e����e����ia�� fea������e�� ��f ��he EF G ��e��h�� d he a�������� ��i��a��i���� �� h �� f���� ��he f����c��i���� �� �� i�� �� ����ed a�� a �� ������������ia�� ��f ����de�� �� ��i��h ������ c��������a���� c�� eAEcie������ he ����de�� ��f ��he �� ������������ia�� i�� de����ed a�� ��he ����de�� ��f ��he ba��i�� �� ����e di��e����i���� f���� a ��i��ea�� ���� a ����ad��a��ic ba��i�� �� h �� ca�� b e ����i����e�� a�� �� h �� = a �� a �� �� ��i��ea�� ba��i�� �� h �� = a �� a �� �� a �� �� ����ad��a��ic ba��i�� ��he��e ��he ����k���� ���� ��a��a��e��e���� aj �� ��a���� ��i��h �� he��e a�������� ��i��a��i������ a��e k���� ���� a�� ������i��g ��ea���� ������a��e�� i�� ��e���� ����a�� ���� i�� c������ e a��d ������face ������i��g a��d �� e��e de��c��ib ed b�� a��ca����e�� a��d a��k a����k a�� [? ] he ���� ca�� a�������� ��i��a��i���� i�� gi�� e�� b �� �� h �� �� = �� X j = ��j �� aj �� = �� �� a �� ��he��e ���� i�� a c��������e��e �� ������������ia�� ��f ����de�� �� �� �� = [ �� �� :::�� �� ] a��d a �� i�� gi��e�� b �� a �� = [a �� a �� a �� :::a�� ��] he ����k���� ���� ��a��a��e��e���� aj �� a�� a���� gi��e�� �� ��i�� �� a��e de��e����i��ed b �� ��i��i��i��i��g ��he dif fe��e��ce b e�� �� ee�� ��he ���� ca�� a�������� ��i��a��i���� a�� ��ha�� �� ��i�� �� a��d ��he ���� da�� ��a��a��e��e���� �� e�� ��he ���� de�� ��h����e �������� �������� i��c����de �� b e gi��e�� ���� ca�� ���� de �� ���� b e���� ���� �� hi�� cha��ac��e�� ��f ����e����a����i��g d����ai���� ��f i��-��e��ce i�� i������������a��ed i�� Fig����e f���� ��he ��e��h�� d i�� ����e di��e����i����
Page 4
D����b ���� a��d Be��������chk�� 4 X 1 2 3 Fig����e ��e����a����i��g d����ai���� ��f i��-��e��ce a��d ���� ca�� ���� de �� ���� b e��i��g a�� �� ��i������ �� de��e����i��e a �� �� e ��he�� ��i��i��i��e ��i��h ��e���� ec�� ���� a �� ��he ��eigh��ed di��c��e��e �������� gi�� e�� b �� = �� X = �� �� �� �� [��h �� �� �� �� ] = �� X = �� �� �� �� [�� �� a �� �� �� ] 4 ��he��e �� i�� ��he �� ���� b e�� ��f ���� de�� i�� ��he ��eigh b ����h�� �� d ��f �� f���� ��hich ��he ��eigh�� f����c��i���� �� �� �� �� = a��d �� ��efe���� ���� ��he ���� da�� ��a��a��e��e�� ��f �� a�� �� = �� he ��i��i������ ��f i�� ?? ��i��h ��e���� ec�� ���� a �� ��ead�� ���� ��he f�������� ��i��g ��e�� ��f ��i��ea�� e����a��i������: A �� a �� = B �� �� 5 ���� a �� = A�� �� B �� �� 6 ��he��e A = �� X = �� �� �� �� �� �� �� �� = �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� :::�� �� �� ���� ���� ���� ���� 7 a��d B �� = [�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� :::�� �� �� ���� �� ���� ] = �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� :::�� �� �� ���� ���� 8 �� = [�� �� :::���� ] 9 he ��a����ice�� A a��d B ha��e b ee�� e����a��ded ab �� ��e f���� ��he ���� eci��c ca��e ��f a ��i��ea�� ba��i�� i�� ����e di��e����i���� B�� ����b����i������i��g ?? i������ ?? ��he a�������� ��i��a�� ���� ca�� b e de����ed a�� �� h �� = �� X = �� �� �� = �� �� ��
Page 5
A�� �������� d��c��i���� ���� ����g��a����i��g ��he e��h��e���� E��e��e���� F��ee Ga��e��ki�� e��h�� d ��he��e ��he ��ha�� e f����c��i���� �� �� i�� de����ed b �� �� �� = �� X j = ��j �� A�� �� B �� j = �� A�� B ��he��e �� i�� ��he ����de�� ��f ��he �� ������������ia�� �� �� �� de��e����i��e ��he de��i��a��i��e�� f������ ��he di������ace ��e���� ?? i�� i�� ��ece����a���� ���� ��b��ai�� ��he ��ha�� e f����c��i���� de��i�� a��i��e�� he ����a��ia�� de��i�� a��i��e�� ��f ��he ��ha�� e f����c��i������ a��e ��b��ai��ed b �� �� �� = �� A�� B �� = �� �� A�� B �� A�� �� B �� A�� B �� ��he��e B �� �� = d�� d�� �� �� �� �� �� a��d A�� �� i�� c����������ed b �� A�� �� = ��A�� A �� A�� 4 ��he��e A �� = �� X = �� �� �� �� �� �� �� �� = d�� d�� �� �� �� �� �� �� d�� d�� �� �� �� �� �� �� ::: d�� d�� �� �� ���� ���� ���� ���� 5 ����ica�� EF G ��ha�� e f����c��i������ a��d ��hei�� de��i�� a��i��e�� f���� ��he a����a �� ��f e��e��e�� ���� de�� i�� ����e di��e����i���� a��e ��h�� ���� i�� Fig����e?? a��d Fig����e ?? ��e���� ec��i��e���� �� ��h������d b e ������ed ��ha�� EF G ��ha�� e f����c��i������d�� ������ ��a��i��f�� ��he ������ec ke�� de����a c��i��e ��i����: �� �� = AE he��ef����e ��he�� a��e ������ i�� ��e���� ����a�� ���� a��d ��he ��a��e a�������� ��i��a�� ���� i�� ����ed �� �� h �� = �� ie ��he ���� da�� ��a��a��e��e���� �� a��e ������ ��he ���� da�� ��a����e�� ��f �� h �� he a�������� ��i��a��i���� ���� ��he di������ace��e���� a�� ��he �� h ���� de de�� e��d�� ���� ��he ���� da�� ��a��a��e��e�� �� a�� �� e���� a�� ��he ���� da�� ��a��a��e��e���� �� ��h������gh ���� c������e���� ����di��g ���� a���� ����he�� ���� de�� ��i��hi�� ��he d����ai�� ��f i��-��e��ce ��f ���� de hi�� i�� ��e-ec��ed i�� ��he ������ gi��e�� i�� ?? hi�� �������� e���� �� ��ak e�� ��he i���� ����i��i���� ��f e����e�� ��ia�� b ������da���� c����di��i������ ������e c��������ica��ed ��ha�� ��i��h ����i��e e��e��e������ e��e��a�� ��ech��i����e�� ha ��e b ee�� de�� e������ ed ���� e��f����ce e����e�� ��ia�� b ������da���� c����di��i������ i��c����di��g ��he ����e ��f ag��a��ge �� ������i����ie���� Be��������c hk�� e�� a�� [? ] ���� di��ed �� a��ia��i����a�� ����i�� ci����e�� �� e�� a�� [? ] a��d c��������i��g ��i��h ����i��e e��e��e������ Be��������c hk�� e�� a�� [? ] �� ��hi�� ��a�� e�� �� e ��i���� ����e ag��a��ge �� ������i����ie���� ���� e��f����ce ��he e����e�� ��ia�� b ������da���� c����di��i������ eigh�� F����c��i���� De��c��i����i���� A�� i���� ������a���� i��g��edie�� �� i�� ��he EF G ��e��h�� d i�� ��he �� eigh�� f����c��i���� ����ed i�� ?? ��h������gh ?? he �� eigh�� f����c��i���� ��h������d b e ������ ��e���� �������� �� ��e�� a ����a���� ��eigh����h�� b �� d ��f �� ca����ed ��he d����ai�� ��f i��-��e��ce ��f ���� de i�� ����de�� ���� ge��e��a��e a ��e�� ��f ����a����e di��c��e��e e����a��i������ hi�� i�� e����i�� a��e���� ���� ����a��i��g ��ha�� ��he �� eigh�� f����c��i������ ha ��e c������ac�� �������� ������ he ����eci��e cha��ac��e�� ��f �� �� �� �� ��ee���� ���� b e ����i���� ������a���� a����h����gh i�� i�� a���������� ��a��da�������� ��ha�� i�� b e �� ����i��i��e a��d i��c��ea��e ��������������ica������ a�� jj�� �� �� jj dec��ea��e�� F ������he��������e i�� i�� de��i��ab��e

by Discipline

39% Student (Master)

17% Ph.D. Student

11% Post Doc
by Country

22% United States

17% United Kingdom