ANÁLISE ESTATÍSTICA DA QUALIDADE DE UM MODELO DIGITAL DO
TERRENO GERADO COM THIN PLATE SPLINE

Statistical analysis of the quality of a Digital Terrain Model generated by Thin Plate
Spline

Ricardo Luís Barbosa1
Messias Meneguette Jr.2
João Fernando Custódio da Silva2
Rodrigo Bezerra de Araújo Gallis2
Otávio Yassuo Itame2

Universidade Estadual Paulista
1Campus de Sorocaba
2Faculdade de Ciências e Tecnologia
{ricardo,messias, jfcsilva, itame}@fct.unesp.br


RESUMO

A representação do relevo ou terreno é uma componente fundamental no processo cartográfico. Em formato digital ela
recebe o nome de Modelo Digital do Terreno (MDT) e consiste de um conjunto de dados que explicitam as coordenadas
(X, Y, Z) do terreno e a forma como os mesmos estão relacionados. Várias técnicas podem ser utilizadas para se obter
os dados do MDT, as principais delas são: levantamento topográfico, fotogramétricas e cartográficas. Os dados obtidos
através dessas técnicas constituem o Modelo Digital do Terreno, ou se for o caso, uma base sobre a qual poderá ser
realizada uma densificação (interpolação). Existe uma variedade grande de técnicas de interpolação, sendo as mais
conhecidas: linear, bilinear, bicúbica, quíntica, multiquádrica, inverso da distância ponderada etc. A qualidade do MDT
é de fundamental importância e neste trabalho o interesse é em uma interpolação menos usual, via Thin Plate Spline
(TPS) analisada de acordo com o padrão de exatidão cartográfica. Para o controle de qualidade, foram gerados modelos
de terreno com diferentes números de pontos originais com base em amostragens aleatórias e estratificadas. O modelo
que apresentou melhor resultado foi obtido com uma adaptação da amostragem estratificada. Em função da boa
performance da interpolação TPS, pretende-se avaliá-la em trabalhos futuros, em relação a outras funções
interpoladoras, inclusive melhorar a eficiência computacional da mesma para ser automaticamente adaptativa, ou seja,
deixando de ser global e passando a ter efeito local pelo uso apenas de pontos vizinhos.

Palavras chaves: MDT, Thin Plate Spline, interpolação, amostragem, exatidão cartográfica.

ABSTRACT
The relief representation is an important step in the cartographic process and in digital format is named Digital Terrain
Model (DTM). DTM can be seen as a set of coordinates (X, Y, Z) of ground surface points together with their
topological relationship. Several techniques can be used to acquire the DTM data: surveying, photogrammetric and
cartographic ones. The data therefore constitute the DTM, but in some cases, it is take as a basis on which a
densification (interpolation) should be accomplished. There exists a variety of interpolation techniques, the more usual
being: linear, bilinear, bicubic, quintic, multiquadric, inverse weighted distance, etc. The quality of DTM is also of
fundamental importance. In this work the major interest is directed to a less usual interpolation method, the Thin Plate
Spline (TPS), which is analysed taking into account the cartographic accuracy requirements. For the quality control,
DTM were generated with different numbers of original points considering random and stratified samplings. A novel
adaptation for the stratified sampling generated the best resulting model. The good performance presented by the
interpolation TPS indicates it should be better evaluated it in future works, in relation to other interpolation functions, as
well as computationaly refined in the sense of being adaptative, or in other words, not being global but having local
effect by the use of neighboring points only.

Keywords: DTM, Thin Plate Spline, interpolation, sampling, cartographic accuracy.
Revista Brasileira de Cartografia No 60/02, agosto 2008. (ISSN 1808-0936) 127

1. INTRODUÇÃO

A representação do relevo ou terreno é uma
componente fundamental no processo cartográfico que,
em formato digital, recebe o nome de Modelo Digital do
Terreno (MDT) e consiste de um conjunto de dados que
explicitam as coordenadas (X, Y, Z) do terreno e a
forma como os mesmos estão relacionados (PETRIE;
KENNIE, 1990), (ACKERMANN, 1996), (ANDRADE,
1998), (BARBOSA; SILVA, 2000), (NASER; VALEO;
HABIB, 2005).
Os dados para a criação do MDT podem ser
obtidos (ou amostrados) de várias maneiras, como por
exemplo, utilizando métodos analógicos para a extração
das coordenadas (X, Y, Z) e posterior transferência para
o computador, ou fazendo-se uso de técnicas digitais de
forma semi-automática ou automática. Atualmente, o
laser scanner é cada vez mais usado para a aquisição de
um MDT (DALMOLIN; SANTOS, 2004).
Em geral, é necessário adensar o MDT e isso é
feito usando uma função interpoladora. A escolha da
função de interpolação é decisiva para se obter uma boa
precisão do MDT. Segundo McCullagh (1988), os
requisitos desejáveis para uma função interpoladora são:
que reproduza uma superfície contínua; o tempo de
computação não seja proibitivo e que tenha
propriedades matemáticas de interesse para a aplicação.
As funções de interpolação podem ser globais
ou locais (YAMAMOTO, 1998). Os métodos globais
levam em consideração todos os pontos que foram
amostrados, ajustando alguma função que passe por
todos esses pontos. Os métodos locais são influenciados
por pontos que estejam em uma certa vizinhança,
diminuindo sua contribuição à medida que a distância
ao ponto interpolado aumenta. Existe uma variedade
muito grande de técnicas de interpolação
(LANCASTER; SALKAUSKAS, 1990): linear,
quíntica, multiquádrica, inverso da distância ponderada,
funções de bases radiais etc.
Em Yang et al. (2004), são apresentados 12
métodos de interpolação que o programa Surfer 8.0
oferece, mas nenhuma conclusão a respeito do melhor
método é apresentada, ficando, portanto, a cargo do
usuário decidir.
Fernandes e Menezes (2005) geraram modelos
com seis diferentes funções interpoladoras e usando
apenas 5 pontos de controle afirmam que a Triangulação
de Delaunay com restrição foi a melhor técnica, medida
através do erro médio.
Com diferentes fontes de aquisição dos dados
foram gerados 7 modelos por Santos, Silva e Mello
(2003) sem que os autores, entretanto, explicitassem a
interpoladora utilizada. O controle de qualidade foi feito
com pontos levantados com GPS. O cálculo da precisão
foi feito com a raiz quadrada do erro médio quadrático,
e o MDT gerado automaticamente em uma estação da
Leica foi o que apresentou melhor qualidade.
Com a digitalização de curvas de nível de uma
carta, Pinheiro e Kux (2003) compararam dois métodos
de interpolação: uma linear e uma quíntica, utilizando
triangulação de Delaunay. Para o controle de qualidade,
foram utilizados 52 pontos levantados por GPS, os quais
foram utilizados na fototriangulação para a confecção
da carta. Ambas as interpolações apresentaram
resultados semelhantes.
Com o uso do laser scanner, Kraus et al.
(2004) dizem ser necessário revisar e apresentar novas
metodologias para se medir a qualidade do MDT.
Apresentam duas abordagens: uma estocástica, que é
dependente da densidade de pontos, da raiz quadrada do
erro médio quadrático e da curvatura local, e uma outra
abordagem geométrica baseada na curvatura local.
Partindo de uma população de 3665 pontos
conhecidos por levantamento GPS, Oliveira et al.
(2003), fizeram uma amostragem aleatória com 733
pontos levantados. Esses pontos amostrados foram
interpolados para gerar o MDT com o programa Surfer
usando krigagem como método de interpolação. Os
autores não justificaram o tamanho da amostra usada e
nem apresentaram resultados do controle de qualidade.
Nogueira Jr., Monico e Tachibana (2004)
mostram a influência do tamanho da amostra no
controle da qualidade para uma carta na escala 1:2000.
O tamanho da amostra é determinado e os pontos são
amostrados de forma aleatória.
Galo e Camargo (1994) descrevem o uso do
GPS no controle da exatidão cartográfica e apresentam
os passos para a análise da exatidão planimétrica em
uma carta com escala 1:50000.
Itame (2001) fez um levantamento topográfico
com 419 pontos e gerou modelos digitais do terreno
com o programa Topograph, utilizando a triangulação
de Delaunay e interpolação B-Spline. Fez também uma
análise do tamanho da amostra mínimo para os pontos
de controle.
Neste trabalho, o objetivo é analisar a geração
de um MDT, e a respectiva qualidade, usando uma
função interpoladora, menos usual em cartografia, a
Thin Plate Spline. A fonte de dados para o MDT é um
levantamento topográfico de 419 pontos utilizado por
Itame (2001), que formam uma população da qual são
extraídas amostras aleatórias com técnicas de
estratificação para a geração do MDT, bem como de
uma amostra com tamanho adequado para verificar a
qualidade pelo Padrão de Exatidão Cartográfica (PEC).

2. INTERPOLAÇÃO

Um interpolante Thin Plate Spline (TPS) pode
ser ilustrado fisicamente como sendo uma chapa fina de
metal se estendendo para o infinito, presa em alguns
pontos de controle, de tal forma que a energia necessária
para isto seja mínima, desprezando-se a energia elástica
e a energia gravitacional (BOOKSTEIN, 1989). O TPS
aparece na literatura com outros nomes (YU, 2001):
spline de curvatura mínima, spline biharmônica e
mesmo superfície spline. Dados os pontos de controle ( )iii ZYX ,, , com i = 1, 2, ....,n, para interpolar Z,
conhecidas as coordenadas (X, Y), a expressão para o
TPS é:
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)

( ) ∑
=
+++=
n
i
iii rrFYaXaaYXZ
1
22
210 ln, (1)
com
( ) nZYXZ kkk ,....,2,1 ,, == (2)

onde
( ) ( 222 iii YYXXr −+−= (3)

e são os n + 3 coeficientes
incógnitos.
210 e ,, aaaFi
Para gerar uma superfície que passa pelos n
pontos e tenha todas as derivadas, ou seja, tenha boa
suavidade, o termo pode ser trocado por
:
22 ln ii rr( )ε+22 ln ii rr

( ) ( )∑
=
++++=
n
i
iii rrFYaXaaYXZ
1
22
210 ln, ε
(4)

O parâmetro ε usualmente é tomado entre 10-2
e 10-6, dependendo do grau de variação da curvatura da
superfície (YU, 2001).
Os coeficientes são determinados a partir de
pontos conhecidos da amostra ( )kkk ZYX ,, :

( )∑
=
++++=
n
i
ikikikkk rrFYaXaaZ
1
22
210 ln ε
(5)
onde

( ) ( 222 kikiik YYXXr −+−= ) (6)

Na forma matricial:

BAX = (7)

( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=
000..
000..
0001..11
10..lnln
........
........
1ln..0ln
1ln..ln0
21
21
2
2
2
2
2
1
2
1
22
2
2
2
2
2
12
2
12
11
2
1
2
1
2
12
2
12
n
n
nnnnnn
nn
nn
YYY
XXX
YXrrrr
YXrrrr
YXrrrr
A εε
εε
εε
(8)

com
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
1
0
2
1
...
a
a
a
F
F
F
X n e (9)
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
...
2
1
nZ
Z
Z
B

A matriz A (equação 8) é simétrica e
inversível. Resolvendo o sistema (equação 7), os
coeficientes ficam determinados e consequentemente
pode-se obter o valor interpolado em qualquer ponto ( )YX , .

3. MATERIAIS E MÉTODOS

Para a geração de cada representação do
modelo digital do terreno foram utilizados pontos dentre
os 419 obtidos em uma área do campus da Unesp de
Presidente Prudente (ITAME, 2001), levantados por
topografia. Esses pontos são considerados como uma
população, com parâmetros mostrados na tabela 1. Para
cada variável (V), que são as coordenadas UTM(m): E,
N e H, são dadas as médias, medianas (med.), desvio
padrão populacional (σ), mínimo (mín.) e
máximo(máx.).
Das coordenadas UTM, E(m) e N(m), subtraiu-
se 450000 e 7550000 respectivamente, para facilitar a
leitura dos números.

TABELA 1 - PARÂMETROS DA POPULAÇÃO DOS
PONTOS
V Média Med. σ Mín. Máx.
E 7841,70 7859,85 118,42 7622,81 8040,03
N 3480,50 3476,69 79,37 3314,99 3667,26
H 438,47 440,24 4,96 425,67 444,22

Os 419 pontos foram colocados em uma lista
no programa Minitab (CAMPOS, 2003) e geradas
amostras aleatórias para cada representação do MDT e
também para o respectivo controle de qualidade. O
cálculo do tamanho da amostra, supondo uma população
finita é dado por (COCHRAN, 1977):


)1/(222
22
−+= NzC
z
n σ
σ
α
α (10)

onde:
αz : contagem z para o nível de significância α σ : desvio padrão populacional
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C : margem de erro
N : tamanho da população

Com nível de significância α= 5%, = 1,96,
N= 419 pontos, é necessário estabelecer a margem de
erro para estimar o tamanho da amostra para a geração
do MDT. Com uma variação da margem de erro de
10%, 20%, 30% e 40% sobre o valor do desvio padrão
da variável H, obtém-se os tamanhos das amostras
(aproximados para o próximo inteiro) de 201, 79, 39 e
23 pontos (tabela 2), respectivamente.
αz

TABELA 2 - TAMANHO DAS AMOSTRAS
z σ C n
1,96 4,96 0,496 200,1831
1,96 4,96 0,992 78,09649
1,96 4,96 1,488 38,72954
1,96 4,96 1,984 22,70578

O tamanho da amostra para o controle de
qualidade foi estipulado em Itame (2001) como sendo
de 20 pontos. Dessa maneira, foram feitas 4
amostragens aleatórias da população para a geração do
MDT conforme os valores da tabela 2, e uma
amostragem aleatória para os pontos do controle de
qualidade (CQ). A tabela 3 mostra as estatísticas de
cada amostra: o número da amostra (A), o tamanho da
amostra (n), média, mediana (med.), desvio padrão (s),
mínimo (mín.) e máximo (máx.).

TABELA 3 - ESTATÍSTICAS DAS AMOSTRAS
A n Média Med. s Mín. Máx.
1 201 438,73 440,48 4,85 426,26 444,18
2 79 438,34 440,43 5,17 426,41 444,16
3 39 439,68 440,78 4,07 428,91 443,94
4 23 439,72 440,72 4,53 428,65 443,96
CQ 20 439,67 440,82 4,48 426,41 444,03

Também foi planejada uma amostragem
estratificada em relação à altura, com dois estratos para
o total de pontos levantados no terreno: um estrato com
valores menores do que a mediana e outro com os
valores maiores ou iguais a mediana.
A equação para o tamanho de uma amostra
estratificada é dada por (COCHRAN, 1977):

∑
∑
=
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
k
i
ii
k
i
ii
sN
z
CN
sN
n
1
2
2
22
2
1
α
(11)

onde é o tamanho do estrato i e k é o total de
estratos (no caso k = 2). Com o tamanho da amostra
calculado, o tamanho para cada amostra do estrato i é
dado por:
iN

∑
=
= k
i
ii
ii
i
sN
sN
nn
1
(12)

Os parâmetros dos estratos são dados na tabela
4, onde a coluna (Es) representa o número do estrato.

TABELA 4 - PARÂMETROS DOS ESTRATOS
Es. n Média Med. σ Mín. Máx.
1 210 434,81 435,82 4,57 425,67 440,23
2 209 442,16 442,13 1,14 440,24 444,22


Os tamanhos das amostras estratificadas são
dados na tabela 5. O erro amostral considerado foi 10%
e de 20% do desvio padrão populacional (vide tabela 1).

TABELA 5 - TAMANHO DAS AMOSTRAS
ESTRATIFICADAS
A C n1 n2 n
5 0,496 73 18 91
6 0,992 24 6 30

Com o tamanho de cada estrato definido, foi
feita uma amostragem aleatória em cada estrato, cujas
estatísticas estão na tabela 6.

TABELA 6 - ESTATÍSTICAS DAS AMOSTRAS
ESTRATIFICADAS
A n Média Med. s Mín. Máx.
5 91 436,01 438,39 5,27 425,67 443,90
6 30 434,68 435,85 5,10 426,83 440,24

Um terceiro planejamento foi feito (amostra 7)
considerando os dois estratos como sendo duas
populações diferentes para uma margem de erro de
0,457 (10% do desvio padrão do estrato 1) em ambas.
Para o estrato 1, o tamanho da amostra foi de
136 pontos e para o estrato 2, o tamanho da amostra foi
de 22 pontos, ou seja, o total de pontos amostrados para
o MDT foi de 158 pontos, cujas estatísticas estão na
tabela 7.

TABELA 7 - ESTATÍSTICAS DA AMOSTRA 7
A n Média Med. s Mín. Máx.
7 158 436,60 438,88 5,22 426,74 444,22
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Com as 7 amostras planejadas e escolhidas de
maneira aleatória, foram geradas as representações para
o MDT via Thin Plate Spline e calculadas as
discrepâncias para cada um dos modelos (GALO;
CAMARGO, 1994). As discrepâncias foram calculadas
entre as diferenças das coordenadas Z conhecidas dos
20 pontos da amostra CQ (tabela 1) e as coordenadas Z
interpoladas. A estatística para a tendência é dada por:

n
s
x
t
x
calculado = (13)

e para a precisão:


2
0
2
2 )1(
σχ
x
sn
calculado
−= (14)

onde:

:x média das discrepâncias
:2
x
s variância das discrepâncias
:n tamanho da amostra (no caso 20 discrepâncias)
2
0σ : variância esperada para a classe do PEC


4. RESULTADOS

A tabela 8 resume os resultados para a análise
da tendência e precisão, segundo o padrão de exatidão
cartográfica (PEC) (GALO; CAMARGO, 1994). O
desvio padrão utilizada para o cálculo da estatística da
precisão (equação 14) foi 0,3333 para a classe A do
PEC. Os valores críticos, para um nível de significância
de 10% e graus de liberdade 19, são | t | = 1,73
(bilateral) e Qui-quadrado = 27,20.

TABELA 8 - RESULTADOS PARA A ANÁLISE DA
TENDÊNCIA E PRECISÃO

As amostras 1, 3, 4, 5 e 7 não apresentam
tendências, ao contrário das amostras 2 e 6, cujo valor
| t-calculado| (equação 13) é maior do que o crítico. As
amostras 1, 2, 3, 4, 5 e 7 se enquadram no padrão A no
que se refere à exatidão (os valores das estatísticas de
qui-quadrado calculados (equação 14) são menores do
que o crítico). A amostra 6 não apresenta exatidão
suficiente. Pode-se observar que esta amostra
apresentou o maior desvio padrão das discrepâncias.
Para fins de comparação, foi gerada uma
representação do MDT usando o total dos pontos, isto é,
399 pontos, ou seja, da população de 419 foram
excluídos os 20 pontos do controle de qualidade. Os
resultados são mostrados na tabela 9.

TABELA 9 - RESULTADOS PARA A ANÁLISE DA
TENDÊNCIA E PRECISÃO COM 399 PONTOS
Média s t(calc.) Qui (calc.)
-0,0473 0,2162 -0,9777 8,0078

Como era de se esperar, o MDT gerado com os
399 pontos não apresenta tendências e tem padrão A de
exatidão.

CONCLUSÕES

Duas amostras apresentaram tendências
(amostra 2 e 6). A amostra 6 foi uma amostra
estratificada com apenas 30 pontos e também não
apresentou exatidão. A amostra 2, apesar de apresentar
tendência, é classificada no padrão A de exatidão
cartográfica. Comparando os resultados do modelo
gerado com todos os pontos (exceto os de controle -
tabela 9), as amostras 4, 5 e 7 apresentaram uma média
de discrepância menor (valor absoluto) e se
classificaram no padrão A de exatidão. A amostra 5
apresentou o menor desvio padrão para as discrepâncias
e também o menor valor para a exatidão cartográfica
com aproximadamente 23% da quantidade de pontos,
indicando ser uma boa solução para a redução da
quantidade de pontos amostrados e consequentemente
redução do esforço computacional.
Esse trabalho teve como objetivo avaliar a
qualidade de um MDT gerado com o TPS, usando
estratégias diferentes de amostragens para gerar o
modelo.
Em trabalhos futuros, pretende-se avaliar a thin
plate spline com outras funções interpoladoras, além de
melhorar a eficiência computacional da mesma,
deixando de ser global e passando a ser feita localmente,
utilizando apenas pontos em uma certa vizinhança.


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Amostra Média s t (calc.) Qui (calc.)
1 -0,1047 0,2845 -1,6464 13,8722
2 0,1195 0,2434 2,1955 10,1526
3 -0,1146 0,3358 -1,5268 19,3175
4 0,0234 0,3650 0,2870 22,8225
5 0,0256 0,2156 0,5320 7,9670
6 0,5753 0,9453 2,7216 153,1176
7 -0,0299 0,3350 -0,3998 19,2251
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Revista Brasileira de Cartografia No 60/02, agosto 2008. (ISSN 1808-0936) 132