© La Revue MODULAD, 2003 50 Numéro 30
LE LOGICIEL EXTREMES, UN OUTIL POUR L’ETUDE DES QUEUES
DE DISTRIBUTION



Jean Diebolt1, Jérôme Ecarnot2, Myriam Garrido3, Stéphane Girard2,4,
Dominique Lagrange5

1 CNRS, Université de Marne la Vallée, 5 bd. Descartes, 77454 Marne la Vallée Cedex 2
(jean.dieb@wanadoo.fr)
2 IS2, INRIA Rhône-Alpes, 655 av. de l’Europe, 38330 Montbonnot Saint Martin
(jerome.ecarnot@inrialpes.fr)
3 Labsad, Université Grenoble 2, BP 47, 38040 Grenoble Cedex 9
(myriam.garrido@upmf-grenoble.fr)
4 LMC-IMAG, Université Grenoble 1, BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9
(stephane.girard@imag.fr)
5 EDF R&D/MRI, 6 quai Watier, BP 49, 78401 Chatou Cedex
(dominique.lagrange@edf.fr)


Résumé : Le logiciel EXTREMES regroupe différents outils pour la modélisation des queues
de distribution et l’estimation des quantiles extrêmes. On y trouve en particulier les
procédures classiques d’estimation des paramètres des lois décrivant le comportement des
valeurs extrêmes, mais aussi des procédures plus complexes de test d’adéquation pour la
queue de distribution. Des fonctions d’inférence statistique classique sont aussi implémentées,
permettant ainsi la comparaison de modèles paramétriques centraux avec des modèles semi
paramétriques extrêmes. Le logiciel est écrit en C++, comporte une interface graphique
développée en Matlab et une documentation technique. Le tout est disponible auprès des
auteurs.

Mots-clés : Queue de distribution, quantile extrême, tests d’adéquation, statistique
bayésienne.

1. Introduction
Le logiciel EXTREMES regroupe différents outils dédiés à l’étude des valeurs extrêmes tels
que des procédures d’estimation des quantiles extrêmes et de sélection de modèles pour les
queues de distribution. Il est le fruit d’une collaboration entre l’équipe IS2 de l’INRIA Rhône-
Alpes et la division Recherche et Développement d’EDF, et l’aboutissement des travaux de
thèse de Myriam Garrido [GAR02]. Il ne s’adresse pas uniquement aux spécialistes des
valeurs extrêmes, même s’il offre de nouveaux outils pour l’étude des queues de distribution.

© La Revue MODULAD, 2003 51 Numéro 30
Dans le paragraphe 2, nous décrivons le contexte mathématique permettant l’étude des
évènements rares, dans le paragraphe 3 sont exposées les fonctionnalités du logiciel
proprement dites et les aspects informatiques sont abordés dans le paragraphe 4.

2. Fondements théoriques
La théorie des valeurs extrêmes [EMB97] a été développée pour l’estimation de probabilités
d’occurrences d’évènements rares. Elle permet d’extrapoler le comportement de la queue de
distribution à partir des plus grandes données observées. Le résultat suivant sur la loi des
valeurs extrêmes est, pour le maximum de n observations, un analogue du théorème central
limite pour la moyenne. Il décrit les limites possibles de la loi du maximum de n variables
aléatoires indépendantes et identiquement distribuées correctement normalisé à l’aide de deux
suites nα et nβ .
Soit F la fonction de répartition de la loi d’intérêt. Sous certaines conditions de régularité
sur F , il existe R∈τ et deux suites normalisantes nα et nβ tels que :
( ) ),(lim , xHxFRx nnnn τβα =+∈∀ ∞→
où τH est la fonction de répartition de la loi des valeurs extrêmes :
( )( )ττ ττ /11exp)( , 0 −++−=≠ xxHsi
( )( )xxHsi −−== expexp)( , 0 0τ
et où la notation +y désigne ( )0,max y .
On dit alors que le fonction de répartition F est dans le domaine d’attraction de Fréchet, de
Gumbel ou de Weibull selon que 0,0 => ττ ou 0<τ .
Une 2ème méthode d’estimation de queues de distribution est la méthode des excès ou POT
(Peaks over threshold), introduite dans [PIC75]. Soit u un réel suffisamment grand appelé
seuil. La méthode des excès s’appuie sur l’approximation de la loi des excès au-dessus du
seuil u de la variable aléatoire X , c’est-à-dire de la loi conditionnelle de la variable aléatoire
uX − sachant que uX > . La fonction de répartition des excès est définie par :
( )uXyuXPyFu ><−= / )( .

© La Revue MODULAD, 2003 52 Numéro 30
D’après le théorème de Pickands, si F appartient à l’un des 3 domaines d’attraction de la loi
des valeurs extrêmes, la fonction de répartition uF peut être approchée par une loi de Pareto
généralisée (GPD) définie pour 0>σ par :
( )./exp1)( , 0
11)( , 0
,0
/1
,
σγ
σ
γγ
σ
γ
σγ
xxGsi
xxGsi
−−==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=≠
−
+
Sur la base de ces résultats, il est possible d’estimer des quantiles extrêmes. Un quantile
extrême nq d’ordre )1( np− est défini par l’équation nn pqF −=1)( avec npn /1≤ , n désignant la
taille de l’échantillon. Un tel quantile étant généralement situé au-delà de l’observation
maximale, des techniques spécifiques d’estimation sont nécessaires. La méthode POT
s’appuie sur le théorème de Pickands pour estimer nq par :
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+=
−
1
ˆ
ˆˆ
ˆn
n
n
n
n
nn k
npuq
γ
γ
σ [1]
où nk désigne le nombre d’excès au-delà du seuil nu et nσˆ et nγˆ sont des estimateurs des
paramètres de la loi GPD. Pour ces derniers, de nombreuses propositions existent, voir par
exemple [EMB97].

3. Fonctionnalités
Les fonctions disponibles sont regroupées en 3 catégories.

3.1. Fonctions statistiques classiques
Les fonctions ci-dessous sont d’intérêt général au sens où elles ne sont pas dédiées à l’étude
des valeurs extrêmes :
- Simulation de variables aléatoires de lois Normale, Lognormale, Exponentielle, Gamma,
Weibull, Chi2, Student, Pareto, Beta, Uniforme et Pareto généralisée.
- Graphique des densités, fonctions de répartition, fonctions de survie, fonctions quantiles des
lois précitées.
- Estimation des paramètres des lois précitées.
- Estimation non paramétrique de la densité (méthode de noyau, histogramme).
- Estimation paramétrique des quantiles.
- Test d’Anderson-Darling et Cramer-Von Mises.

© La Revue MODULAD, 2003 53 Numéro 30
Exemple : Illustration du fonctionnement du test d’Anderson-Darling sur le fichier de données
réelles cr.txt (fourni avec le logiciel, voir paragraphe 4). L’adéquation des lois Normale,
Lognormale, Exponentielle, Weibull, Gamma, Chi2, Student, Pareto, GPD et Uniforme a été
testée au niveau 5%. Dans la fenêtre Résultat du test, le logiciel indique les valeurs des
paramètres estimés, la statistique du test, la valeur de rejet et la décision. Les densités
correspondantes sont superposées sur l’histogramme des données.



3.2. Fonctions extrêmes classiques
Nous regroupons ici les fonctions d’estimation et de test bien connues dans le domaine de la
statistique des valeurs extrêmes.
- Vérification de l’exponentialité des excès : il s’agit de s’assurer que la fonction de
répartition des données étudiées est dans le domaine d’attraction de Gumbel, et que le nombre
d’excès nk est convenablement choisi. L’ajustement de la loi Exponentielle aux excès est
contrôlé graphiquement en traçant un QQ-plot. Un test d’exponentialité des excès est
également proposé.

© La Revue MODULAD, 2003 54 Numéro 30
- Estimation des paramètres de la loi GPD. Sont regroupées ici plusieurs méthodes
classiquement utilisées pour estimer le couple ( )σγ , , notamment les méthodes de Hill, Hill
généralisé, Moments pondérés d’Hosking et Wallis, Maximum de vraisemblance et Zipf. On
pourra se reporter à [EMB97] et aux références indiquées dans l’ouvrage pour plus de détails.
- Estimation des quantiles extrêmes. Cette estimation s’appuie sur l’équation [1] et
l’estimation des paramètres précédents.

Exemple : Estimation du paramètre γ (indice de valeurs extrêmes) sur un échantillon issu
d’une loi normale centrée réduite de taille 100. Pour chaque valeur du nombre d’excès nk
comprise entre 10 et 50 en abscisse, on place en ordonnée la valeur de l’estimateur obtenu.
Sur cet exemple, les 5 estimateurs disponibles ont été utilisés. Remarquons que dans cet
exemple, la valeur théorique de γ est 0 (bien sûr indépendante du nombre d’excès), la loi
Normale étant dans le domaine d’attraction de Gumbel.

© La Revue MODULAD, 2003 55 Numéro 30
3.3. Procédures introduites dans [GAR02]
Il s’agit de la partie la plus innovante du logiciel. Les fonctions rassemblées ici ont été
intégralement développées dans le cadre d’une thèse co-financée par INRIA Rhône-Alpes et
EDF :
- Test ET,
- Test GPD,
- Régularisation bayésienne.
Le test ET et le test GPD sont 2 tests d’adéquation pour la queue de distribution. Ils
sélectionnent par comparaison avec la méthode POT les modèles centraux produisant de
bonnes estimations de la queue de distribution. Lorsqu’on souhaite reconstituer la loi des
observations aussi bien dans la région centrale qu’extrême, on applique d’abord à un
ensemble de modèles un test usuel (Anderson-Darling ou Cramer-Von Mises) puis un test
d’adéquation de la queue de distribution (ET ou GPD). Si aucune loi n’est acceptée par les
deux types de tests, la procédure de régularisation bayésienne permet, à partir d’un modèle
adapté aux valeurs les plus probables, d’améliorer l’adéquation extrême grâce à un avis
d’expert sur la queue de distribution.

Exemple : Estimation de la puissance du test ET sur données simulées. Dans cet exemple, 100
échantillons de taille 100 sont simulés à partir d’une loi Gamma. Sur chacun des jeux de
données, la version bootstrap paramétrique du test ET est utilisée pour tester l’adéquation de
la queue de distribution à une loi de Weibull. Le test accepte à tort cette hypothèse dans 89%
des cas. Cette faible puissance s’explique par la similitude entre les queues des lois Gamma et
Weibull dans le cas d’un paramètre de forme proche de 1.

© La Revue MODULAD, 2003 56 Numéro 30


4. Utiliser EXTREMES
Les sources du logiciel EXTREMES sont écrites en langage C++ et une interface graphique a
été développée sous Matlab de façon à allier rapidité d’exécution et convivialité. Le logiciel
accompagné de quelques jeux de données est disponible (sous forme compilée) à l’adresse
suivante :
http://www.inrialpes.fr/is2/pub/software/EXTREMES/accueil.html
Une documentation aux formats Word, Postscript et HTML est fournie à la même adresse.

© La Revue MODULAD, 2003 57 Numéro 30
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[EMB97] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T., Modelling extremal events –
Springer Verlag, Applications of mathematics, 1997.

[GAR02] Garrido M., Modélisation des évènements rares et estimation des quantiles
extrêmes, Méthodes de sélection de modèles pour les queues de distribution,
Thèse de doctorat, Université Grenoble 1, 2002.

[PIC75] Pickands J., « Statistical inference using extreme order statistics », The Annals
of statistics, vol. 3, 1975, p. 119-131.