On the Stability Analysis of the Stochastic Infectious Model with Distributed Time Delay

Abstract

This paper is concerned with the stability analysis of the stochastic infectious model with time delay. In the vector-borne diseases such as malaria and Japanese encephalitis, there exists time delay caused by an incubation period in the virus development in the vectors on the transmission of disease. Moreover, environmental change and individual difference cause some kinds of random fluctuations in the infection, recovery rates, etc. Hence, we propose the stochastic infectious model with time delay. The equilibrium solution with zero infected individuals is called the disease-free steady state. Since the stability of the disease-free steady state is related to whether or not the infectious disease spreads, we analyze stability of the disease-free steady state using the stochastic Lyapunov function. Moreover, we study the influence of the random noise on the stability based on the calculation of the Lyapunov exponent, and show results of numerical simulations. 1. はじめに マラリア，結核，HIV の 3 種の感染症に限っても，年 間罹患者数は数億人，死亡者数は数百万人にもなる．こ れら感染症以外にもジカ熱，インフルエンザなど多くの 感染症の脅威が依然として存在しており，感染症の流行 抑制・制御は公衆衛生上の重要な課題である [1-4]． ワクチン接種は感染症流行抑制・制御のための有効な 方法であるが，人間に対して感染症流行とワクチン接種 の関係を実験で解析することは非常に困難である．そこ で，数学モデルを用いた感染症流行過程の解析が重要 な役割を果たすことになり，従来，多くの理論的研究が 行われている [5-11]. たとえば，文献 [5,6] においては SIRV モデルとよばれる感染症モデルを用いて，分岐解 析に基づきワクチン接種率と平衡解の安定性の関係が考 察され，ワクチン接種率が 5%程度の場合には後退分岐 が起こることが示されている．また，文献 [7-10] におい * 原稿受付 2017 年 6 月 8 日 第 61 回システム制御情報学会研究発表講演会にて発表 (2017 年 5 月) † 山口大学大学院創成科学研究科 Graduate School of Sciences and Technology for Innovation, Yamaguchi University ; 2-16-1 Tokiwadai, Ube city, Yamaguchi 755-8611, JAPAN