On the Stability Analysis of the Stochastic SIR Model with Time Delay

Abstract

The purpose of this paper is to propose the stochastic infectious model with time delay and to study the stability of the disease-free steady state. In the realistic spread of the infectious disease , environmental change and individual difference cause some kinds of random fluctuations in the model parameters. Moreover, in the vector-borne diseases such as malaria and dengue fever, there exists time delay caused by an incubation period in the virus development in the vectors (mosquitoes) on the transmission of disease. Taking these facts into consideration, we propose a stochastic SIR(susceptible-infected-recovered) model with time delay. We analyze stability of the disease-free steady state, and study the influence of time delay and the random noise on the stability by numerical simulations. 1. はじめに 世界保健機構 (WHO) が中南米におけるジカ熱の流行 に対して 2016 年 2 月に緊急事態宣言を行うなど，感染 症流行抑制は解決すべき公衆衛生上の重要な課題になっ ている [1]．感染症の流行過程を実験で解析することは非 常に困難であるため，感染症モデルを用いた感染症流行 の解析が重要な役割を果たすことになる．従来，感受者 （感染の可能性のある者），感染者，回復者などの個体群 を対象に種々の感染症モデルが提案され，分岐解析や最 適ワクチン接種問題 [2-5] が考察されている．環境や天 候の変化，個人差に起因する感染率・回復率などの不規 則なゆらぎを考慮した感染症モデルによる解析も存在す るが [6,7]，従来の感染症モデルの大半は不規則性を考慮 しない確定的な感染症モデルである [2-5,8]．また，モデ ル化において感染の時間遅れを考慮しなければならない 場合もある．たとえば，マラリアのように蚊などの媒介 * 原稿受付 2016 年 6 月 15 日 第 60 回システム制御情報学会研究発表講演会にて発表 (2016 年 5 月) † 山口大学大学院 創成科学研究科 Graduate School of Sciences and Technology for Innovation, Yamaguchi University ; 2-16-1 Tokiwadai, Ube city, Yamaguchi 755-8611, JAPAN そこで，本論文では感染の時間遅れとワクチン接種を考 慮した確率感染症モデルを提案し，確率 Lyapunov 定理 を用いて，Disease-free 平衡解が安定となるための十分 条件を明らかにする．また，確率分岐理論において外乱 により，安定領域が変化する場合があることが知られて いるので [9]，Lyapunov 指数を計算することにより提案 した確率感染症システムにおいても不規則外乱の強度変 化に伴い安定領域が変化することを示す．さらに，数値 シミュレーションにより，感染率に含まれる不規則外乱 や感染の時間遅れの安定性への影響を考察する． 2. 時間遅れを考慮した確率 SIR モデル まず，感受者，感染者および回復者の 3 個体群によっ て構成される従来の確定感染症モデルについて説明する．-11-SCI'16 論文 特集号-I