Échantillonnage par valeurs supérieures à un seuil : modélisation des occurrences par la méthode du renouvellement

Abstract

L'échantillonnage par valeurs supérieures à un seuil consiste à retenir tous les événements d'une chronique, définis par l'existence d'un maximum local supérieur à un seuil critique. L'étude probabiliste est alors menée par calage de deux lois de probabilité, une sur le processus d'occurrence de ces événements (date des événements), une autre sur la marque des événements (valeur du maximum local), puis par recomposition de ces deux lois pour obtenir la loi de probabilité associée au maximum annuel.La théorie du renouvellement permet d'étudier le processus d'occurrence d'événements. Les propriétés générales de la loi le plus souvent utilisée, la loi de Poisson (stationnaire ou non), sont présentées, ainsi que des éléments nouveaux concernant la loi Binomiale et la loi Binomiale négative. Ces propriétés sont relatives à la distribution du nombre d'événements sur un intervalle de temps donné, et à la distribution de la durée de retour, définie comme l'intervalle de temps séparant deux occurrences successives d'événements.Les relations existant entre la loi de probabilité d'une variable et la période de retour de l'événement associé sont ensuite détaillées. Il s'agit d'un rappel de résultats lorsque la variable étudiée est obtenue par sélection d'un ou de plusieurs maximums par an, ou dans le cas d'un processus marqué de Poisson; et d'éléments nouveaux dans le cas d'un processus représenté par une loi Binomiale ou une loi Binomiale négative.Pour finir, on trouvera les correspondances entre les deux types d'échantillonnage précédents (par maximum annuel ou par valeurs supérieures à un seuil), en terme de période de retour, de distribution et de variance d'échantillonnage.The principle of over-threshold sampling is to consider all the events in a time-series that exceed a given threshold. The probabilistic analysis implies estimating two statistical models, one describing the occurrence of events (date of the events), the other describing their magnitude (value of the local maximum). These two models are then combined to obtain the distribution of annual maximum flows.The theory of renewal processes can be used to study the occurrence of flood events. We present here properties of the well-known Poisson distribution (stationary or non-stationary process), and certain new results for the binomial and negative binomial distributions. These results concern the distribution of the number of events in a given time interval and the distribution of the waiting time, defined as the time span between two successive exceedances of the threshold.The relationship between the distribution of a variable and its corresponding return period are then studied in more detail. We review the results for the case where the variable of interest is obtained by selection of one or more events per year, or from a Poisson point process. New results are presented for the case of the binomial and negative binomial processes.Finally, we establish the analytical relationship between the two types of sampling, annual maximum sampling and peaks-over-threshold sampling, in terms of return period, distribution of the annual maximum, and sampling variance.