A general outline of the genesis of vector space theory

Abstract

The following article presents a general outline of the genesis of the elementary concepts of vector space theory. It presents the main works that contributed to the development of these basic elements and analyzes how they developed and how they influenced each other. The study of systems of linear equations and the search for an intrinsic geometric analysis were the two main sources which gave rise to the theory of linearity. The fact of going beyond the third dimension in geometry in the middle of the 19th century, as well as the dialectical development between algebra and geometry from the creation of analytical geometry on, brought about the development of an initial unification of linear questions around the concept of determinant. This framework was generalized to the countably infinite dimension following work on functional analysis. Axiomatization, which was carried out at the end of the 19th century, although only really put to use after 1920, is a wider process which is part of the general development of mathematics in the beginning of the 20th century. I will analyze how this phenomenon came into existence and how it finally established its influence. L'article qui suit, presente une vue générale de la genèse des concepts élémentaires de la théorie des espacos vectoriels. Il présente les principaux travaux qui ont œuvré dans ce sens en analysant leurs interactions et les grandes lignes de développement. L'étude des systèmes d'équations linéaires et la recherche d'un calcul géométrique intrinsèque sont les deux principales sources de constitution d'une théorie de la lnéarité. Le dépassement de la dimension 3 en géométrie au milieu du XIXème siécle, ainsi qu'un développement dialectique entre algèbre et géométrie depuis la création de la géométrie analytique ont amené la constitution d'une premiére unification des questions linéaires autour de la notion de déterminant. Ce cadre fut généralisé à la dimension infinie dénombrable lors de travaux d'analyse fonctionnelle. L'axiomatisation réahsée à la fin du XIXème siecle, mais vraiement utilisée seulement après 1920, est un processus plus large qui s'inscrit dans un développement général des mathématiques au début du XXème siecle. J'analyserai comment ce phénomène a pu naìtre et comment il a fini par s'imposer. El artículo que sigue presenta una visión general sobre la génesis de los conceptos elementales de la teoría de espacios vectoriales. Aqui se presentan los principales trabajos que se ban desarrollado en este sentido, analizando sus interacciones y las grandes líneas de desarrollo. El estudio de sistemas de ecuación linear y la investigación de un cálculo geométrico intrinseco son las dos principales fuentes de constitutión de una teoria de la linearidad. La superación de la dimension 3 en geometría, a mediados del siglo XIX, asi como el desarrollo dialectico entre el algebra y la geometrií, despues de la creación de la geometria analitica, ban llevado a la constitution de una primera unification des los aspectos líneares alrededor de la notion de determinante. Este cuadro fue generalizado a la dimensión infinita enumerable con los trabajos de analisis funcional. La axiomatisación realizada a fines del siglo XX, pero realmente utilisada después de 1920, es un proceso más largo que se inscribe en un desarrollo general de la matemática a comienzos del siglo XX. Yo analizare como ese fenómeno pudo nacer y como él a terminado por imponerse. © 1995 Academic Press, Inc.