Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs

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Abstract

Author's introduction: "Pour tout anneau Λ les groupes de K-théorie Ki(Λ), i≥1, définis par D. Quillen sont les groupes d'homotopie de l'espace BGL(Λ)+. Pour tout homomorphisme d'anneaux f:Λ→Λ′ il est naturel de définir les groupes de K-théorie relative Ki(f) comme les groupes d'homotopie de la fibre homotopique de BGL(Λ)+→BGL(Λ′)+. Lorsque i=1,2 les groupes Ki(Λ) admettent l'interprétation algébrique suivante. Soit φΛ:St(Λ)→GL(Λ) l'homomorphisme naturel du groupe de Steinberg dans le groupe linéaire; on a alors K2(Λ)=KerφΛ et K1(Λ)=CokerφΛ. La connaissance d'une présentation par générateurs et relations de St(Λ) a permis de calculer explicitement le groupe K2(Λ) dans de nombreux cas. Le but de cet article est de construire, pour tout homomorphisme surjectif d'anneaux f, un groupe de Steinberg relatif St(f) par générateurs et relations, ainsi qu'un homomorphisme φf:St(f)→GL(f) tels que K2(f)=Kerφf et K1(f)=Cokerφf. On obtient ainsi un moyen algébrique pour calculer K2(f). En utilisant la longue suite exacte de K-thórie on peut en déduire des renseignements sur le groupe K3 d'un anneau. Par exemple, si A est un anneau noethérien régulier et si on choisit pour f l'application A[t]→A×A, P(t)↦(P(0),P(1)), on a alors K3(A)=K2(f). "La méthode utilisée ici est calquée sur celle de M. Kervaire. La classification des extensions de groupes est remplacée par la classification de certains modules croisés. Un module croisé est la donnée d'un homomorphisme de groupes μ:M→N et d'une action η de N sur M telle que (i) μ(η(n)⋅m)=nμ(m)n−1, n∈N, m∈M, (ii) η(μ(m))⋅m′=mm′m−1, m,m′∈M. "Notons L=Kerμ et Q=Cokerμ. Lorsqu'on fixe le Q-module L et l'épimorphisme ν:N→Q on parle d'extension relative de (Q,N) par L au lieu de module croisé. On montre que l'ensemble Ext(Q,N;L) des classes de congruence d'extensions relatives de (Q,N) par L est en bijection avec le groupe de cohomologie relative H3(Q,N;L). Ce théorème de classification généralise l'isomorphisme classique entre les extensions du groupe Q par le Q-module L et le groupe de cohomologie H2(Q;L). "Voici un résumé section par section. Dans la Section 1 nous définissons la notion d'homomorphisme et de congruence entre extensions relatives. Pour une telle extension, S. Mac Lane a construit un invariant dans H3(Q;L). Il est aisé de voir que l'image de cet invariant est nulle dans H3(N;L); il provient donc du groupe H3(Q,N;L). Nous construisons explicitement dans H3(Q,N;L) une classe caractéristique d'extension relative qui ne dépend que de la classe de congruence de l'extension choisie. L'image de cette classe caractéristique dans H3(Q;L) est l'invariant de Mac Lane. "La Section 2 contient la preuve du théorème de classification des classes de congruence. L'application qui associe à une extension relative sa classe caractéristique établit la bijection entre Ext(Q,N;L) et H3(Q,N;L). On donne une interprétation topologique de ce théorème en termes d'obstructions et d'invariants de Postnikov. "Dans la Section 3 on s'intéresse aux extensions relatives centrales (r.c.), i.e., aux extensions relatives pour lesquelles Q opère trivialement sur L. On montre qu'il existe une extension r.c. universelle de (Q,N) si et seulement si H2(Q,N;Z)=0. On établit une caractérisation de cette extension r.c. universelle (Théorème 3). La Proposition 6 donne un moyen facile pour la construction d'extensions r.c. universelles. On termine le paragraphe par un critère pour reconnaître les extensions r.c. `universelles à homotopie près'. "L'application de ces résultats à la K-théorie algébrique est l'objet de la Section 4. Après avoir donné la présentation par générateurs et relations du groupe de Steinberg relatif St(f) d'un homomorphisme surjectif f, on définit algébriquement les groupes K2(f) et K1(f). On montre l'exactitude de la suite K3(Λ)→K3(Λ′)→K2(f)→K2(Λ)→K2(Λ′)→K1(f)→K1(Λ)→K1(Λ′) en utilisant les interprétations algébriques des groupes Ki(−),i=1,2,3. Ce résultat a été obtenu indépendamment et par une méthode différente par F. Keune. Dans le cours de la démonstration on compare les groups St(f) et K2(f) aux groupes St(A) et K2(A) de l'idéal A=Kerf, définis par M. R. Stein et J. Milnor. Enfin on démontre l'équivalence des définitions algébriques et topologiques des groupes de k-théorie relative.''

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Loday, J. L. (1978). Cohomologie et groupe de Steinberg relatifs. Journal of Algebra, 54(1), 178–202. https://doi.org/10.1016/0021-8693(78)90025-X

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