On space–time adaptive schemes for the numerical solution of PDEs

Abstract

A fully adaptive numerical scheme for solving PDEs based on a finite volume discretization with explicit time discretization is presented. The local grid refinement is triggered by a multiresolution strategy which allows to control the approximation error in space. The costly fluxes are evaluated on the adaptive grid only. For automatic time step control a Runge–Kutta–Fehlberg method is used. A dynamic tree data structure allows memory compression and CPU time reduction. For validation different classical test problems are computed. The gain in memory and CPU time with respect to the finite volume scheme on a regular grid is reported and demonstrates the efficiency of the new method. Résumé. Nous présentons ici une méthode numériqueentì erement adaptative pour les EDP, basée sur une discrétisation spatiale en volumes finis et une intégration temporelle explicite de type Runge-Kutta. Une stratégie de type multi-résolution permet d'adapter localement le maillage tout en contrôlant l'erreur d'approximation en espace. Les flux son evalués sur la grille adaptative uniquement. Une méthode de type Runge-Kutta-Fehlberg est employée afin de choisir automatiquement le pas de temps tout en contrôlant l'erreur d'approximation. Nous proposons en outre une méthodeò u le pas de temps dépend de l echelle , afin d eviter d' utiliser sur tous les niveaux le pas de temps qui garantit la stabilité numérique sur le niveau de grille le plus fin . La structure de données est organisée en arbre graduel , ce qui permet de réduire significativement la place mémoire et le temps de calcul nécessaires . Nous validons ce nouveau schéma numériquè a l ' aide de différents cas - tests classiques. Nous estimons le gain en place mémoire et en temps de calcul par rapport au même calcul en volumes finis sur la grille la plus fine , afin de montrer l ' efficacité de la méthode . * The authors thank the CIRM in Marseille for its hospitality and for financial support during the CEMRACS 2005 summer - program where part of the work was carried out .