Symbols and Language

Abstract

9.1. Introducción. ... Estos símbolos sirve como representación de objetos mentales... 9.1.1. Símbolos y significado. Resumiendo: Presentan la identidad 2(x+3)=2x+6 y muestran las distintas interpretaciones que pueden darse de estos símbolos. En varios ejemplos que proceden de Kieran y Sfard (1999) aparece, por ejemplo: Después de introducir álgebra accediendo desde el uso de las gráficas de funciones un estudiante contesto que esta afirmación era cierta desde el uso de términos como pendiente... Y en definitiva: Los objetos cognitivos a los que los símbolos y palabras se refieren son cosntrucciones mentales que reflejan diferentes redes de significado que, para cada individuo, sería parte de su personal sistema algebraico. 9.1.2. ?`Qué es el lenguaje algebraico? Distingue: lenguaje natural (el número de cerillas viene dado por la siguiente expresión), escrituras simbólicas (2n+1) y representaciones compuestas (gráficos, esquemas... sin o con símbolos) [Extraído de Laborde (1982, 1990)]... IMPORTANTE. Siguiendo a Laborde caracterizamos lenguaje algebraico como el conjunto compuesto por lenguaje natural, escritos simbólicos algebraicos, y representaciones compuesta algebraicas. 9.1.3. Componentes del lenguaje algebraico. 9.1.3.1. Definición de lenguaje. Describe: ... sintaxis (la organización y transformación de símbolos), semántica (el nivel del significado), y pragmática (la relación entre los signos y los usuarios)... Una distinción importante es que aunque los lenguajes estas hechos de palabras que se consideran signos no todos los sistemas de signos son lenguajes... El marco general para el estudio de sistemas de signos se llama semiótica... El lenguaje natural es un lenguaje. Lo que no es tan obvio es que las escrituras simbólicas lo sean... un punto demostrado por Kirshner y Drouhard... Para hacer esto los autores eligieron una definición precisa de lo que es un lenguaje... EL sistema de representaciones compuestas no es un lenguaje... Aunque es un sistema de signos (o sistema semiótico, lo cual es equivalente)... Tienen significado y son descritas y analizadas por semióticos en lugar de por lingüistas. IMPORTANTE. Afirmamos que los signos (si no son parte de un lenguaje) deben ser estudiados en un marco teórico semiótico (y no en uno lingüístico) mientras que los signos lingüísticos como x (que forman parte de un lenguaje) deben ser mejor estudiado dentro de un marco lingüístico. [La clasificación de Pierce de signos no es útil para los símbolos lingüísticos y por lo tanto no lo es para estudiar las dificultades de los estudiantes con las letras. De la misma manera la noción sentido sintáctico es relevante sólo con metáfora en el estudio de las gráficas.] 9.2. Semántica de las expresiones simbólicas: Frege. 9.2.1. Significado: Denotación y sentido. IMPORTANTE: Frege considera significado no como un concepto elemental sino como una composición de dos fenómenos complementarios: denotación (o referencia) y sentido. Melbourne y La capital del estado de Victoria tienen la misma denotación (refrencia): la ciudad. Sin embargo, no tienen el mismo sentido. La primera señala su nombre y la segunda el hecho de ser capital del estado. {!'}{!'}{!'}MUY IMPORTANTE!!! Frege considera cuatro casos cada uno generalización del anterior... Denotación de expresiones aritméticas (2+3). Las expresiones aritméticas denotan números... Denotación de afirmaciones aritméticas (2x4+3=11). Frege introduce a una pequeña revolución conceptual considerando las afirmaciones aritméticas al considerar que tales escritos no refieren a la afirmación de un hecho sino a un valor de verdad... Denotación de expresiones algebraicas (2x+3). Una expresión algebraica representa números indeterminados o indefinidos. ?`Qué es un número indeterminado?... Aunque indeterminado no es una propiedad matemática...pero podemos decir que indica números indefinidamente... Frege propone que una expresión denota una función (la función que asocia a cada valor de la letra, el valor que toma la expresión).. Usando la perspectiva de Frege 2x+3 es una función, y los números indefinidos son los números genericos para la imagen de esta función... Denotación de afirmaciones algebraicas (3x+3=11)... Frege considera que denotan funciones cuyas imágenes son valores de verdad. 9.2.2. Sentido de los escritos algebraicos. ?`Qué diferencia hay entre 2(x+1) y 2x+2? La denotación es la misma... Sentido de acuerdo con Frege es la forma en la que es dad la denotación... Observando a los expertos... el sentido y no sólo la denotación son la clave para una correcta actitud en álgebra... [Refiere a autores que han trabajado la cuestión Arzarello...]... [Una crítica a CAS] Considerar que los CAS ayudan a los estudiantes permitiendo que piensen en lugar de realizar cálculos pesados, produce un exagerado énfasis en la componete de denotación a expensas de la componente de sentido... 9.2.3. Enseñar denotación y sentido. El uso de la hoja de cálculo puede considerarse como una metáfora para la denotación (y además para el sentido). El aspecto dinámico de la denotación (relación funcional entre el valor de la variable y el valor de la expresión) aparece claramente... La fórmula [C2=2*A2+1] es estrictamente equivalente a 2x+1 o, mejor dicho, una traducción de la expresión en el lenguaje de la hoja de cálculo. Tal traducción es un caso particular de lo que Duval llama conversión en el dominio más general de los sistemas semióticos: Conversión es la transformación de representación de un objeto mediante cambio de registro. Aquí, ambas expresiones algebraicas no son meros sistemas semióticos sino también lenguajes... Si la columna A contiene una serie vertical es posible copiar y pegar por arrastre C2 para ver los valores de C2 correspondientes a A2... La hoja de cálculo puede ser usada para mostrar la relación entre sentido y denotación con ejercicios del tipo (=2*A2+1 =2*(A2+1)... El lenguaje de la hoja de cálculo puede ser usado para expresar funciones booleanas [Lo hacen rarito =if(B2=C2, true, false)]. 9.3. Enseñanza y aprendizaje de problemas. ... [La definición de sintaxis es interesante como un referente más.] 9.3.3. Pragmática: herramientas y uso. Goldin y Kaput (1996) se centran en ``information-carrying capabilities'' de diferentes medios y cómo estas características influyentes de los sistemas se muestran con ellos. Así, los símbolos algebraicos manipulados en un medio habitual (lápiz y papel) posibilitan un tipo de actividad y pensamiento diferente que, digamos, el conjunto de símbolos con los que unos interactúa en e entorno de la hoja de cálculo...La equivalencia de las fórmulas =2*A2+2 =2*(A2+1)... puede ser comprobado por el uso de la copia y pegado por arrastre... sitúa el énfasis en la denotación... la misma actividad en lápiz y papel centra la atención en los aspectos sintácticos del lenguaje algebraico... [Sobre todo al final habla de la importancia de cambiar el punto de vista de observación de las actuaciones y no centrase en el producto final sino en el proceso ... el discurso matemático...]. 9.3.4. Aspectos del lenguaje natural. ... Las palabras pueden ser técnicas, con un significado matemático específico; subtécnicas, con un significado dependiente del contesto; o generales, el lenguaje de cada día... nos separamos de las nociones de sentido y denotación de Frege, examinando como el lenguaje apoya el aprendizaje matemático. 9.3.4.1. Vocabulario técnico. Sólo comentar que en Miles (1999) se observa correlación entre el nivel algebraico y el vocabulario algebraico; pero no con el vocabulario general de lectura. [Pero esto no nos interesa pues, ?`dónde se sitúa leer un problema?] 9.3.4.2. Expresar ideas matemáticas. Sfard (2000)... ``Estas cosas cuestan cinco dólares'' a la expresión ``El coste de estas cosas es cinco dólares'' ... (nominalización)... separa el discurso de un enfoque en obtener una respuesta a considerar la respuesta como un objeto... el uso de lenguaje ``ostensivo'' (Freudenthal, 1980). Muchos estudiantes usan palabras como eso... apuntando con el dedo (los lingüistas lo llaman deícticos) para explicar procedimientos. Este lenguaje impreciso puede indicar un falta de vocabulario apropiado... 9.4. Significado como un acto interpretativo. 9.4.1. Objetos matemáticos. Sfard (2000)... los objetos bajo discusión no pueden ser directamente mediados por la experiencia perceptiva. Por el contrario un sistema de ``sustitutos simbólicos'' debe ser usado para comunicarse... incluso un concepto ``simple'' como número es un acto interpretativo... Tradicionalmente, los símbolos se han visto como representantes de un ``objeto intangible independiente de la mente''... Los símbolos son utilizados como una forma de señalar la realidad externa... El advenimiento de la semiótica y el trabajo de saussure, Pierce y Vygotsky llevó a... ``Las ideas matemáticas... no están unidas a un significado universal, sino que derivan su significado del camino por el que un individuo llega a ellas''. 9.4.3. Significado y comprensión. Significado refiere al tipo de entidad mental que el individuo socia con un símbolo particular. En contraste, el término comprensión algebraica caracteriza el modo en el cual un estudiante relaciona el signo y su significado en un mayor conjunto de relaciones conectadas... aprendizaje y comprensión tienen lugar en un nivel simbólico, mientras que la actuación mecánica usa índices (... icónico, indexado, simbólico...) Radford acepta lrelya presencia de un limbo... ``en el que los estudiantes ni han abandonado completamente la historia original ni han entrado completamente en la narración simbólica''. [El resto sigue la reflexión sobre simbolización, conocimiento algebraico, etc.] 9.7. ?`A dónde vamos? Examinar como una instrucción explícita centrada en aspectos del lenguaje facilita la comprensión de los estudiantes.