Квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шрeдингера с дельта-потенциалом, локализованным на поверхности коразмерности 1

Abstract

Описана квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шрeдингера с дельта-потенциалом, локализованным на поверхности коразмерности $1$. Начальное условие представляет собой быстро осциллирующий волновой пакет. Показано, что асимптотика выражается через канонический оператор Маслова на паре лагранжевых многообразий в расширенном фазовом пространстве; вид дельта-потенциала определяет отображение между этими многообразиями, описывающее отражение и рассеяние волнового пакета.A semiclassical asymptotics of the solution to the Cauchy problem is described for the Schrödinger equation with a delta potential localized on a codimension $1$ surface. The initial condition represents a rapidly oscillating wave packet. It is shown that the asymptotics is expressed in terms of the Maslov canonical operator on a pair of Lagrangian manifolds in the extended phase space; the form of the delta potential defines a mapping between these manifolds that describes the reflection and scattering of the wave packet.