Le tau et le tau-b de Kendall pour la corrélation de variables ordinales simples ou catégorielles

Abstract

Dans le langage de tous les jours, l'expression « corrélation entre deux variables » est entendue et bien comprise de manière générale : c'est un lien, un rapport de correspondance grâce auquel la variation d'un attribut peut être associée à la variation d'un autre attribut. En fait, ce concept général de corrélation-on devrait plutôt employer le terme « association »-en recouvre trois qui, dans le langage plus rigoureux des interprétations scientifiques, ont chacun leur formulation mathématique et leur acception spécifiques. Ces trois types d'association sont : une relation non spécifique : Y at -il un lien, une influence quelconque-causale, indirecte, mutuelle-entre deux caractéristiques observées ? Des exemples de ce type de relation abondent : le niveau moyen de réponse de deux ou plusieurs groupes, selon le traitement particulier auquel ont été soumis leurs participants, l'incidence de telle maladie selon la région géographique ou la race, la force musculaire selon le sexe, etc. Ces relations impliquent ordinairement une variable catégorielle (ou qualitative), tels le sexe, la condition expérimentale, la race, et une variable dépendante qui peut être ou mesurée (la force, le degré de réussite), ou observée (l'option politique, la présence de maladie). L'arsenal disponible pour l'évaluation statistique de ces relations est nombreux et diversifié, les outils les plus courants étant les tests t de Student, l'analyse de variance et le test du Khi-deux pour tableaux de fréquences. Laurencelle (2005) a considéré le cas d'une association non monotone entre deux variables continues. une relation linéaire : La variation d'une grandeur Y donnée est-elle proportionnelle à la variation d'une autre grandeur X, peut-on établir une règle de correspondance linéaire entre les deux? Cette relation paradigmatique, représentée par l'équation « Y = bX + a », fournit souvent le premier pas vers une modélisation d'un phénomène et elle en constitue aussi l'aboutissement rêvé, parfois sous une forme augmentée telle que « Y = f (X) », où f est une fonction, linéaire ou linéarisable, de X. Température et longueur d'une tige de fer, réussite scolaire et quotient intellectuel, fréquence cardiaque maximale et âge sont trois cas de relation linéaire simple à peu près démontrés. Le coefficient de corrélation linéaire, diversement attribué à Bravais, Galton et K. Pearson, en est la mesure directe, sous la forme simplifiée : r ∝ Σ (Xi-μX)(Yi-μY). La réécriture de l'équation « Y = bX + a » sous la forme « (Y-μY) = b(X-μX) » montre à l'évidence que cette corrélation quantifie le degré de correspondance proportionnelle entre X et Y et qu'elle est donc intimement solidaire de la métrique de ces deux variables. L'analyse de régression, la régression polynomiale et le modèle linéaire général comptent parmi les techniques d'évaluation privilégiées pour ce type de relation. une relation monotone : Intermédiaire entre la relation linéaire décrite ci-dessus et une relation non spécifique, qui n'implique aucune concordance régulière entre X et Y, s'intercale la relation dite monotone. Y at -il une fatigue, une diminution d'énergie chez les travailleurs du premier jusqu'au cinquième jour d'une semaine de travail? Les enfants dont la diète comporte une dose plus importante de fruits et légumes sont-ils moins sujets à certaines maladies? L'incidence d'accidents vasculocérébraux augmente-t-elle avec le cholestérol sanguin total ? Les relations de ce type se subdivisent en deux sous-catégories, selon la nature des variables concernées :-soit les variables X et Y concernées sont toutes deux mesurées et reflètent des grandeurs (continues), alors que la relation supposée entre elles est monotone plutôt que métrique (p. ex. l'espérance de vie vs le revenu moyen);-soit au moins l'une des variables est ordinale (p. ex. l'échelle de Mohs pour la dureté d'un matériau) ou catégorielle ordonnée, la variable catégorielle regroupant