One-dimensional dynamical systems and Benford’s law

Abstract

Perto de um ponto de equilíbrio estável 0 ou infinito, muitos dos valores reais de sistemas dinâmicos seguem a lei de Benford: sob iteração de um T mapa a proporção de valores em {x, T (x), T ^ 2 (x ),..., T ^ n (x)} com mantissa (base b) menos do que t tende a logb (t) para todo t em [1, b) como n-> infinito, para todas as bases inteiras b> 1. Em particular, as órbitas em maior potência, exponencial e funções racionais (ou qualquer combinação sucessiva dos mesmos), seguem a lei de Benford para quase todos os valores suficientemente grandes inicialmente. Para sistemas linearmente dominados, a convergência para a distribuição de Benford ocorre para cada x, mas essencialmente para os sistemas não-lineares, conjuntos excepcionais podem existir. Extensões para sistemas dinâmicos não-autônomos são dadas, e os resultados são aplicados para mostrar que muitas equações diferenciais, tais como ˙ x = F (x), onde F é C ^ 2, com F (0) = 0> F '(0), também seguem a lei de Benford. Além de generalizar muitos resultados bem conhecidos para as sequências como (n!) ou os números de Fibonacci, estes resultados complementam as recentes observações em experimentos físicos e simulações numéricas de sistemas dinâmicos.