La théorie des classes de Chern

Abstract

Introduction. — Dans cet appendice, nous développons une théorie axio-matique des classes de Chern, qui permet en particulier de définir les classes de Chern d'un fibre vectoriel algébrique E sur une variété algébrique non singulière quasi projective X comme des éléments de l'anneau de Chow A (.1) de X ^ i. e. comme des classes de cycles pour l'équivalence rationnelle. Cet exposé est inspiré du livre de HIRZEBRUCH d'une part (où ^propriétés formelles essentielles caractérisant une théorie des classes de Chern étaient bien mises en évidence), et d'une idée de CHERN [2], qui consiste à utiliser la structure multiplicative de l'anneau des classes de cycles sur le fibre en espaces projectifs P(E) associé à E^ pour parvenir à une construction effective des classes de Chern. On notera que l'exposé donné ici vaut dans d'autres cadres que celui de la Géométrie algébrique et redonne par exemple une théorie entièrement élémentaire des classes de Chern pour les fibres vec-toriels complexes sur des variétés topologiques (et partant, sur tous les espaces pour lesquels le théorème de classification des fibres principaux à groupe structural à l'aide d'un « espace classiflant)> est valable). De même, on obtiendrait, pour un fibre vectoriel analytique complexe E sur une variété analytique complexe (non singulière) X des classes de Chern c^eH^, a^), où û^-est le faisceau des germes de formes différentielles holomorphes de degré/? sur X. [Et il est certainement facile de montrer que cette définition coïncide avec celle donnée récemment par ATIYAH [l], et qu'elle est reliée à la définition topologique des classes de Chern à l'aide de la suite spectrale qui relie les HP^X, QjQ et H\X\ C).] De même, la théorie des classes de