Miller Indices, Laue Indices and the Reflection Conditions

Abstract

これまでの記事 1） ,2） でヘルマン・モーガン記号 （国際記 号）から対称性の導き方と空間群の分類を説明した．今 回はミラー指数，ラウエ指数の定義および実験で得られ る消滅則の厳密な関係を紹介する．日常的に使われる概 念であるにもかかわらず意外と誤解が多いと感じている． 消滅則を理解するために回折という現象と構造因子と いう概念が必要だが，この学会誌の読者の中では既知と 考えここでは省略する．なお，復習の必要な読者は本誌 特集号 「X 線構造解析を始めよう」 ，あるいは 「単結晶回 折 X 線実験かんどころ」を参考にしていただきたい. 3） 1．ワイスパラメーターからミラー指数への旅 鏡映面の方向はその法線ベクトルで指定する．なぜな らば，無限の面が 1 本のベクトルを共有するがそのベクト ルに垂直な面は 1 枚しかない （図 1） ．しかし，鏡映面でな い普通の格子面の法線ベクトルは格子ベクトルと限らな い．例えば，単斜格子の場合は 1 本の対称方向しか存在 しない．その対称方向を基底軸の 1 つとして選ぶと 3 つ の設定が得られる：a-unique ，b-unique，c-unique ．歴史 的な理由で b-unique はより頻繁に選択される．b-unique を選択する場合，ac ベクトルを含む格子面の法線ベクト ルは基底の b 軸と一致し， ［010］という指数をもつ．が， bc ベクトルを含む格子面の法線ベクトルは普通格子点 を通らないため整数指数をもたない． どの格子面でもその方向を指定するために逆格子のベ クトルを利用することができる．しかし，格子の幾何的 要素を指定するためにその双対格子 （ここでは逆格子） の 幾何的要素を利用するのは不自然に思われる．そして， 双対格子の概念はブラベー時代に導入されたものである ことを考えると, 4） それ以前は結晶面を実空間の格子で 表現できる手段が必要であったはずである．文化 14 年 （1817 年）にクリスチャン・サムエル・ワイスが導入し た結晶面のパラメーター （今日ワイスパラメーターと呼 ばれる） は，その歴史を示している. 5） 格子定数を a ，b，c で表示すると，結晶面の軸との切片がそれぞれ pa，qb ， rc の場合にそのパラメーターは p，q，r である．ワイスパ ラメーターはごく簡単だが大きな欠点をもつ．結晶面が ある軸に平行な場合はその軸との切片はないため，その ワイスパラメーターは無限大となり，軸変換などの計算 の場合は ∞ という指数は扱いにくい． 上記の問題は文政 8 年 （1825 年） にウィリアム・ヒュー ウェルによって解決された. 6） そして，ヒューウェルの表記 法は天保 10 年 （1839 年） にウィリアム・ハロウズ・ミラー によって出版された著作 7） に採用されたことによって 「ミラー指数」 として一般に知られるようになった. ＊1 図 2 はある結晶面とその基底との切片を示している． この面は a 軸には p 番目の格子点，b 軸には q 番目の格子点，c 軸 には r 番目の格子点を通るのでそのパラメトリック方程 式は以下のとおりとなる （x，y，z はそれぞれ a，b ，c 軸の 座標である） ． x p y q z r + + = 1 （1） p ，q，r は定数のため両側 pqr を掛けることができる． qrx pry pqz pqr + + = pqr pqr x p () + pqr y q () + pqr z r () = 次に，qr を h ，pr を k，pq を l，pqr を m と置き換える．