Eine geschlossene Darstellung für die Ableitung von Potenzreihen nichtsymmetrischer Tensoren

Abstract

Isotrope Tensorfunktionen, die in Form einer Potenzreihe in bezug auf nichtsymmetrische Argumenttensoren definiert sind, spielen eine große Rolle in der numerischen Mechanik. In der finiten anisotropen Plastizität und insbesondere Einzelkristall‐Plastizität hat sich beispielsweise die Exponentialfunktion des räumlichen Geschwindigkeitsgradienten als sehr hilfreich erwiesen. Bei symmetrischen Argumenttensoren stellt man die Ableitung einer Potenzreihe mit Hilfe einer geschlossenen Formel dar, die auf der Spektralzerlegung basiert. Da jedoch nichtsymmetrische Tensoren im allgemeinen keine Spektralzerlegung (in der Diagonalform) zulassen, ist man gezwungen, sehr aufwendige numerische Prozeduren heranzuziehen. In diesem Beitrag stellen wir eine geschlossene Darstellung für Tensorpotenzreihen und ihre Ableitung vor. Diese Darstellung ist durch die Eigenwerte des Argumenttensors formuliert und gilt für alle Tensoren zweiter Stufe, symmetrische und nichtsymmetrische, mit oder ohne Spektralzerlegung. Im Sonderfall eines Argumenttensors mit einer Spektralzerlegung reduziert sich diese Darstellung auf die wohlbekannte Lösung für isotrope Funktionen symmetrischer Tensoren (siehe z.B. [1]).