Die Poisson-Verteilung

Abstract

In diesem Kapitel lernen wir mit der Poisson1-Verteilung ein weiteres wichtiges Verteilungsgesetz der Stochastik kennen. Diese Verteilung entsteht als Approximation der Binomialverteilung Bin(n,p) bei großem n und kleinem p. Genauer gesagt betrachten wir eine Folge von Verteilungen Bin(n,pn), n ≥ 1, mit konstantem Erwartungswert $$ $\$textbackslashlambda : = n $\$textbackslashcdot p_n ,{$\$textbackslashtext{ }}0 (1) setzen also pn: = $λ$/n. Da Bin(n,pn) die Verteilung der Trefferanzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit pn angibt, befinden wir uns in einer Situation, in der eine wachsende Anzahl von Versuchen eine immer kleiner werdende Trefferwahrscheinlichkeit dahingehend kompensiert, dass die erwartete Trefferanzahl konstant bleibt. Wegen $$ $\$textbackslashbegin{gathered} $\$textbackslashleft( {$\$textbackslashbegin{array}{*{20}c} n $\$textbackslash$\$textbackslash k $\$textbackslash$\$textbackslash $\$textbackslashend{array} } $\$textbackslashright) $\$textbackslashcdot p_n^k $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - p_n } $\$textbackslashright)^{n - k} = $\$textbackslashfrac{{$\$textbackslashleft( {n $\$textbackslashcdot p_n } $\$textbackslashright)^k }} {{k!}} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashfrac{{n^k }} {{n^k }} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{{n $\$textbackslashcdot p_n }} {n}} $\$textbackslashright)^{ - k} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{{n $\$textbackslashcdot p_n }} {n}} $\$textbackslashright)^n $\$textbackslashhfill $\$textbackslash$\$textbackslash {$\$textbackslashtext{ }} = $\$textbackslashfrac{{$\$textbackslashlambda ^k }} {{k!}} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashfrac{{n^k }} {{n^k }} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{$\$textbackslashlambda } {n}} $\$textbackslashright)^{ - k} $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{$\$textbackslashlambda } {n}} $\$textbackslashright)^n $\$textbackslashhfill $\$textbackslash$\$textbackslash $\$textbackslashend{gathered} $$ (2) für jedes n ≥ k und den Beziehungen $$ $\$textbackslashmathop {$\$textbackslashlim }$\$textbackslashlimits_{n $\$textbackslashto $\$textbackslashinfty } $\$textbackslashfrac{{n^{$\$textbackslashunderset{$\$textbackslashraise0.3em$\$textbackslashhbox{$\backslashtextbackslashsmash{\{}\backslashtextbackslashscriptscriptstyle-{\}}$}}{k} } }} {{n^k }} = 1,{$\$textbackslashtext{ }}$\$textbackslashmathop {$\$textbackslashlim }$\$textbackslashlimits_{n $\$textbackslashto $\$textbackslashinfty } $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{$\$textbackslashlambda } {n}} $\$textbackslashright)^{ - k} = 1,{$\$textbackslashtext{ }}$\$textbackslashmathop {$\$textbackslashlim }$\$textbackslashlimits_{n $\$textbackslashto $\$textbackslashinfty } $\$textbackslashleft( {1 - $\$textbackslashfrac{$\$textbackslashlambda } {n}} $\$textbackslashright)^n = e^{ - $\$textbackslashlambda } , $$ (1) folgt dann $$ $\$textbackslashmathop {$\$textbackslashlim }$\$textbackslashlimits_{n - $\$textbackslashinfty } $\$textbackslashleft( {$\$textbackslashbegin{array}{*{20}c} n $\$textbackslash$\$textbackslash k $\$textbackslash$\$textbackslash $\$textbackslashend{array} } $\$textbackslashright) $\$textbackslashcdot p_n^k $\$textbackslashcdot $\$textbackslashleft( {1 - p_n } $\$textbackslashright)^{n - k} = e^{ - $\$textbackslashlambda } $\$textbackslashcdot $\$textbackslashfrac{{$\$textbackslashlambda ^k }} {{k!}},{$\$textbackslashtext{ }}k = 0,1,2,... $$ (1) Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Treffern in obiger Bernoulli-Kette konvergiert also gegen den Ausdruck $$ e^{ - $\$textbackslashlambda } $\$textbackslashlambda ^k /k!.{$\$textbackslashtext{ Wegen }}$\$textbackslashsum _{k = 0}^$\$textbackslashinfty e^{ - $\$textbackslashlambda } $\$textbackslashcdot $\$textbackslashlambda ^k /k! = e^{ - $\$textbackslashlambda } $\$textbackslashcdot e^{ - $\$textbackslashlambda } = 1 $$ (vgl. (22.11)) bildet die rechte Seite von (24.2) eine W-Verteilung auf IN0, und wir erhalten die folgende Definition.