Inhaltsverzeichnis Einleitung

Abstract

Zusammenfassung. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahli-gen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im R m. Unter der Annahme P = NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor n O(1/ log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß ei-ne Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ √ log n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reel-le Zahlen α1,. .. , αn und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 ≤ q ≤ N , so daß maxi min p∈Z |qαi − p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gege-bene rationale Zahlen α1,. .. , αn und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner˜qNenner˜ Nenner˜q mit 1 ≤ ˜ q ≤ f (n)N berechnet, so daߘqdaߘ daߘq bis auf einen Faktor f (n) = n O(1/ log 0.5+ε n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei ε > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Re-sultates bis hin zu einem Faktor n/log n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.