E Technische Mechanik

Abstract

Gegenstand der Kinematik ist die Beschreibung der Lagen und Bewegungen von Punkten und Körpern mit Mitteln der analytischen Geometrie. Dabei spie-len weder physikalische Körpereigenschaften noch Kräfte als Ursachen von Bewegungen eine Rolle. In-folgedessen tauchen die Begriffe Schwerpunkt, Träg-heitshauptachsen, Inertialsystem und absolute Bewe-gung nicht auf. Betrachtet werden Lagen und Bewe-gungen relativ zu einem beliebig bewegten kartesi-schen Achsensystem mit dem Ursprung 0 und mit Achseneinheitsvektoren e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 (genannt Basis e 0 oder Körper Null) 1.1 Kinematik des Punktes 1.1.1 Lage. Lagekoordinaten Die Lage eines Punktes P in der Basis e 0 wird durch den Orts-oder Radiusvektor r oder durch drei skalare Lagekoordinaten gekennzeichnet. Die am häufigsten verwendeten Lagekoordinaten sind nach Bild 1-1a kartesische Koordinaten x, y, z, Zylinderkoordinaten , ϕ, z mit 0 und Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ mit r = |r|. Bei Lagen in der (e 0 1 , e 0 2)-Ebene sind die Zylinderkoordinaten z = 0 und = r. Dann heißen r und ϕ Polarkoordinaten (Bild 1-1b). Bei Bewegun-gen des Punktes P längs einer Bahnkurve sind der Ortsvektor r und seine Lagekoordinaten Funktionen der Zeit. Nach Bild 1-1c wird die Lage von P auch durch die Form der Bahnkurve und durch die Bogenlänge s längs der Kurve von einem beliebig gewählten Punkt s = 0 aus gekennzeichnet. Allen Lagekoordinaten sind nach Bild 1-1a-c Tripel von zueinander orthogonalen Einheitsvektoren zugeord-net, und zwar e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 den kartesischen Koordi-naten, e , e ϕ , e z den Zylinderkoordinaten, e r , e ϑ , e ϕ den Kugelkoordinaten und e t , e n , e b (Tangenten-, Hauptnormalen-und Binormalenvektor der Bahn-kurve) in Bild 1-1c. In der Ebene von e t und e n liegt der Krümmungskreis mit dem Krümmungsradius (nicht zu verwechseln mit der Zylinderkoordinate). Zur Bestimmung von e t , e n , e b und in jedem Punkt einer gegebenen Kurve siehe A 13.2 sowie [1]. Bei ebenen Kurven mit der Darstellung y = f (x) ist 1 (x) = d 2 f dx 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 + d f dx 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ −3/2. Umrechnung zwischen kartesischen und Zy-linderkoordinaten (bzw. Polarkoordinaten im Fall z ≡ 0, r ≡): = (x 2 + y 2) 1/2 , tan ϕ = y/x , x = cos ϕ , y = sin ϕ , z ≡ z. (1-1) Umrechnung zwischen kartesischen und Kugelkoor-dinaten: r = (x 2 + y 2 + z 2) 1/2 , tan ϑ = (x 2 + y 2) 1/2 /z , tan ϕ = y/x , x = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (1-2) Umrechnung zwischen Zylinder-und Kugelkoordina-ten: r = (2 + z 2) 1/2 , tan ϑ = /z , ϕ ≡ ϕ , = r sin ϑ , z = r cos ϑ .