Coreografias no Problema de Três Corpos Restrito

Abstract

Resumo O problema de três corpos trata de objetos puntiformes interagindo mutuamente através da força gravitacional de Newton. Ao longo de mais de três séculos, o estudo deste tipo de sistema levou ao desenvolvimento e ao aprimoramento de diversas técnicas matemáticas, tanto analíticas quanto numéricas, para a compreensão de problemas que envolvem sistemas dinâmicos. Este trabalho discute alguns desses resultados aplicados ao problema de três corpos restrito, formulado a partir da segunda lei de Newton e da lei da gravitação universal. Em particular, foi estudado o comportamento e a estabilidade de dois tipos importantes de soluções periódicas dessse problema: o alinhamento em linha reta de L. Euler e a coreografia em forma de oito de C. Moore. O software Mathematica foi utilizado para resolver o sistema dinâmico e gerar as imagens de movimento dos corpos, bem como calcular o conjunto de expoentes de Lyapunov associados a cada solução. Apesar do caráter inerentemente caótico do problema de três corpos observado nos expoentes de Lyapunov, a solução em oito é linearmente estável, como discutido nos trabalhos de C. Simó.Abstract The three-body problem deals with point objects interacting mutually through Newton's gravitational force. For more than three centuries, the study of this type of system has led to the development and improvement of several mathematical techniques, both analytical and numerical, for the understanding of problems involving dynamical systems. This paper discusses some of these results applied to the restricted three-body problem formulated from Newton's second law and the law of universal gravitation. In particular, the behavior and stability of two important types of periodic solutions of this problem were studied: L. Euler's straight-line alignment and C. Moore's figure-eight choreography. Mathematica software was used to solve the dynamical system and to generate the images of movement of the bodies, as well as to calculate the set of Lyapunov exponents associated with each solution. Despite the inherently chaotic character of the three-body problem observed in the Lyapunov exponents, the figure-eight solution is linearly stable, as discussed in C. Simó's works.