Einführung in die Zahlentheorie

Abstract

Lösungen Aufgabe 1 Man zeige: Für alle ganzen Zahlen n gilt 42 | n 7 − n. Lösung: Da 42 = 2 · 3 · 7, ist die Behauptung gleichbedeutend mit n 7 ≡ n mod p für p = 2, 3, 7. a) p = 2. Dies folgt daraus, dass n 7 und n entweder beide gerade oder beide ungerade sind. b) p = 3. Falls n ≡ 0 mod 3, gilt trivialerweise n 7 ≡ n mod 3. Wir können also n ≡ 0 mod 3 voraussetzen. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist dann n 2 ≡ 1 mod 3 =⇒ n 6 ≡ 1 mod 3 =⇒ n 7 ≡ n mod 3. c) p = 7. Wie in b) ist der Fall n ≡ 0 mod 7 trivial. Für n ≡ 0 mod 7 folgt aus dem kleinen Satz von Fermat n 6 ≡ 1 mod 7 =⇒ n 7 ≡ n mod 7, q.e.d. Aufgabe 2 Man bestimme alle Lösungen (x, y) ∈ Z × Z der Gleichung 8x + 13y = 2. Lösung: Die Zahlen 8 und 13 sind teilerfremd ubrigens sind es zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen), es lässt sich also die 1 linear aus 8 und 13 kombinieren, z.B. ist 5 · 8 − 3 · 13 = 1. (3 und 5 sind die Fibonacci-Zahlen, die 8 und 13 vorangehen.) Es folgt, dass (x 0 , y 0) := 2 (5, −3) = (10, −6) eine spezielle Lösung der Gleichung 8x + 13y = 2 ist. Die allgemeine Lösung erhält man durch Addition der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung 8x + 13y = 0. Aus 8x = −13y