Oscillations and concentration effects in semilinear dispersive wave equations

Abstract

Let (un) be a sequence of smooth solutions to a dispersive nonlinear wave equation, ∂2tun-Δun+f(un)=0 in ℝ1+3, with uniformly compactly supported Cauchy data converging weakly to 0 in H1(ℝ3) x L2(ℝ3). Let (vn) be the sequence of solutions to the linear wave equation with the same Cauchy data. We show that un-vn goes strongly to 0 in the energy space C([0, T], H1) ∩ C1([0, T], L2) if f is a subcritical nonlinearity. In the critical case f(u)=u5, we show that this property is equivalent to vn → 0 in L∞([0, T], L6). Then we give sharp sufficient conditions on microlocal measures associated to the data. The proof relies on a microlocal version of P.-L. Lions' concentration-compacity. © 1996 Academic Press, Inc. Soit (un) une suite de solutions régulières d'une équation d'ondes non linéaire dispersive, ∂2tun-Δun+f(un)=0 dans ℝ1+3, avec données de Cauchy supportées dans un compact fixe et convergeant faiblement vers 0 dans H1(ℝ3) x L2(ℝ3). Soit (vn) la suite des solutions de l'équation des ondes linéare avec les mêmes données de Cauchy. On montre que un-vn converge fortement vers 0 dans l'espace d'énergie C([0, T], H1) ∩ C1([0, T], L2) si f est une non-linéarité sous-critique. Dans le cas critique f(u) = u5, on montre que cette propriété équivaut à la convergence forte de vn vers 0 dans L∞([0, T], L6). On en donne alors des conditions suffisantes optimales en termes de mesures microlocales associées aux données. La démonstration est basée sur une version microlocale de la concentration-compacité de P.-L. Lions. © 1996 Academic Press, Inc.