L'intégrale de Lebesgue

Abstract

En mathématiques, l'intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur) muni de la mesure de Lebesgue. Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques. Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f. En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s'applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que ou. Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l'intérêt s'est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral : Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur l'axe réel et supposée continue par morceaux. Alors, pour tout intervalle fermé [a, b], f est Riemann-intégrable et elle admet une primitive continue sur [a, b]. Si F désigne une primitive de f sur [a, b], alors pour tout x dans [a, b] :. Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » : Si F est différentiable sur [a, b] et si sa dérivée F' est Riemann-intégrable sur [a, b], alors pour tout x dans [a, b]. Cependant, il existe des fonctions F dérivables sur [a, b] sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.