Einführung in die Numerische Mathematik

Abstract

Kapitel 2 beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Fehler bei Berechnungen fort- pflanzen, wie genau das Ergebnis also sein kann, wenn gestörten Ausgangsda- ten vorliegen. Als Anwendung der allgemeinen Untersuchung betrachten wir die 5 1. Einleitung näherungsweise Darstellung der Menge R der reellen Zahlen durch Maschinenzah- len. • Kapitel 3 untersucht die Behandlung linearer Gleichungssysteme. Im Mittelpunkt stehen hier effiziente Verfahren zur Lösung solcher Probleme sowie ihre Umsetzung auf einem Computer. • Kapitel 4 behandelt die mit linearen Gleichungssystemen eng verwandten linearen Ausgleichsprobleme. Derartige Probleme treten häufig etwa bei der Auswertung von Messdaten oder bei der Optimierung der Parameter eines Systems auf. Ihre Lösung lässt sich auf die in Kapitel 3 eingeführten Verfahren zurückführen. • Kapitel 5 konzentriert sich auf nichtlineare Gleichungssysteme, deren Anwen- dungsbereich sich von der Berechnung von Wurzeln bis hin zur Simulation strömungsdynamischer Vorgänge erstreckt. Mit Hilfe geeigneter Ansätze lässt sich das Lösen dieser Probleme auf die in Kapitel 3 vorgestellten Techniken zurückführen, allerdings kann in der Regel auch bei exakten Ausgangsdaten keine exakte Lösung mehr bestimmt werden, sondern nur eine beliebig gute Näherung. • Kapitel 6 untersucht die Behandlung von Funktionen. Da sich allgemeine Funk- tionen nicht im Computer darstellen lassen, werden sie durch Polynome ersetzt, und wir untersuchen die dabei erreichte Genauigkeit sowie effiziente Verfahren zur Behandlung der Polynome. • Kapitel 7 wendet die in Kapitel 6 eingeführten Techniken an, um Integrale näherungsweise zu berechnen. Die vorgestellten Methoden sind besonders inter- essant, da sie lediglich auf der Auswertung des Integranden in einigen Punkten des Integrationsgebiets beruhen und nicht auf die in der Praxis häufig nicht verfügbaren Stammfunktion. • Kapitel 8 benutzt die in Kapitel 7 eingeführten Techniken, um gewöhnliche Diffe- rentialgleichungen näherungsweise zu lösen. Auch hier benötigen die gängigen Ver- fahren lediglich Auswertungen der die Gleichung beschreibenden Funktion, aber keine Stammfunktionen, so dass sie sich sehr einfach und flexibel einsetzen lassen.