Über merkwürdige diskrete Eigenwerte

Abstract

Physikalische Zeitschrift 30, 465-467 {1929} I. Es sind in der quantentheoretischen Lite-ratur mehrfach anschauliche Schliisse von der Art gemacht worden, daB z. B. aus der Tatsache, daB ein Elektron geniigend kinetische Energie hat, urn sich aus einem atomaren System (klassisch gerech-net) ins Unendliche zu entfemen, geschlossen wurde, daB der betreff"ende Energiewert zum kon-tinuierlichen Spektrum des genannten Systems ge-hOrt. 1m folgenden 5011 gezeigt werden, daB derar-tige 'Uberlegungen mit iiuBerster Vorsicht zu hand-haben sind, denn es kommt hiiufig ein entgegen-gesetztes Verhalten vor. Dieser Umstand, daB ein Elektron auf einer stationaren Bahn verharrt (Punkteigenwert I), obwohl es Energie genug hatte, urn sich aus dem Anziehungsbereich des ihn umgebenden Systems zu befreien, ist nur scheinbar paradox. Wir werden' uns an zwei verschiedenen Beispielen klar machen, daB dieses Phiinomen zwei ganz verschiedene Ursachen haben kann -aber in beiden Fiillen bis zu einem gewissen Grade anschaulich deutbar ist. Wir werden stets ein Elektron im Bereiche eines geeigneten kugelsymmetrischen Potentials betrachten, also die Wellengleichung h 2 ---LlV' + (V(r) -E) V' = 0 8n'm (0' 0 2 a' 0 2 2 0 . LI =~+ ~ +-;t =~ +--;-,dawlr vX v)' vi or rvr uns auf kugelsymmetrische V' beschriinken und die AblCltungen nach den Winkeln 0 und rp weglassen konnen). Damit E = 0 ein Punkteigenwert mit der kugelsymmetrischen Eigenfunktion V' = '1'(1') hi (' 1' ' ' 2 ' 1") sei, muB also V = 8n'm tp + 1''1' sein. Wir werden nun durch geeignete Waltl von V' dem V die oben erwiihnten, scheinbar paradoxen, Formen erteilen. . (3) S . sm,. d ' b ' 1) el zuerst V' = -1'2-, ann ergl t Sich (unter Weglassung des unwesentlichen Faktors ~) V= 2,.-2_ 9,-4. Ein ebener Schnitt 8n 2 m durch den Potentialverlauf sieht also wie auf der Figur angedeutet aus. Nach allem Erwarten miiBte das Elektron den Potentiala.bhang hinab-stiirzen und daher nur ein Streckenspektrum be-sitzen -dennoch ist cine stationiire Bahn und der Punkteigenwert E = 0 da! ]edoch ist dieses Verhalten sogar auf Grund klassisch-mechanischer Analogien zu verstehenl). I) Man setze versuchsweise op(r) = 1''' sin (,.0). Damit das Quadratintegral von op1 d.h.j 41£ rli (op (r):ld l'