Fraktale Dimensionen

Abstract

In der Vorlesung wurde die fraktale Dimension anhand des Sierpinski-Dreiecks eingeführt. Wir wollen hier noch einmal kurz auf diese Herleitung eingehen, da sich die Literatur wie so oft auch in diesem Fall bei der Herangehensweise an diese Problemstellung unterscheidet. Im folgenden bezeichnet N (l): N (l) ˆ = Zahl der Teildreiecke Wir können die Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks auf zweierlei Arten ver-stehen: a) Wir führen Iterationen k aus, wobei die Kantenlänge desäußerendesäußeren Dreiecks l wächst und zwar gerade in dem Maße, dass die Kan-tenlänge der 'besetzten' Teildreiecke der Iteration k + 1 derjenigen der Iteration 0, d.h. der Ausgangslänge entspricht. In diesem Fall berech-net sich die Gesamtmasse zu (wir setzen die Masse eines Teildreiecks willkürlich auf 1): M (l) = N (l) · 1, b) Wir können uns aber auch vorstellen, dass wir aus dem einmal gegebe-nen 'massiven' Dreieck Teildreiecke herausschneiden. Dann schrumpft die Kantenlänge l der Teildreiecke, wobei diejenige desäußerendesäußeren Dreiecks konstant bleibt. In diesem Fall berechnet sich die Gesamt-masse zu (die Masse eines Teildreiecks berechnet sich nun zu l d E): M (l) = N (l) · l d E. Man beachte die unterschiedliche Bedeutung der Größe l in beiden Ansätzen!! Entscheidend für die Bestimmung der fraktalen Dimension ist nun einzig der Zusammenhang zwischen N (l) und l selbst. Die Frage lautet also: Wieviele Teildreiecke benötigen wir für ein gegebenes l, um das fraktale Objekt abzudecken. Für den Fall (Definition der fraktalen Dimension) a) wächst N (l) mit l gerade wie (l wird immer größer) N (l) ∼ (l) d f → d f = lim l→∞ ln(N (l)) ln(l) , b) wächst N (l) mit 1/l gerade wie (l wird immer kleiner) N (l) ∼ 1 l d f = l −d f → d f = lim l→0 ln(N (l)) ln(1/l) ,