Niveles de razonamiento frente a problemas binomiales

Abstract

Este trabajo es parte de un estudio en el que se exploran los razonamientos que estudiantes de bachillerato y profesores en formación dan frente a tareas de probabilidad relacionadas con la fórmula binomial. Se muestran resultados del análisis de respuestas a dos problemas de tipo binomial que se aplicaron a tres grupos de sujetos con diferentes características: el grupo A, de 31 estudiantes de segundo año de bachillerato, quienes no habían estudiado probabilidad; grupo B, de 28 estudiantes de tercer año, y grupo C, de 18 profesores de secundaria en formación, ambos con un curso previo de estadística y probabilidad. Para el análisis se identificaron los elementos de conocimiento necesarios para resolver cada tarea y con ellos se elaboró una jerarquía hipotética aplicando la taxonomía SOLO. Después se analizaron las respuestas a los problemas basadas en dicha jerarquía y se hicieron los ajustes con base en las dificultades para clasificar todas las respuestas. Se obtuvo así una jerarquía de razonamiento para cada problema que da cuenta del desempeño general de los grupos. Se observaron notorias diferencias entre los estudiantes del grupo A y los grupos B y C. Se concluye, por un lado, que el progreso en el desempeño de problemas en los que la herramienta es la fórmula binomial depende de la instrucción que reciben los estudiantes. Por otro, que el elemento de conocimiento fundamental que hace la diferencia en la calidad de las respuestas de los estudiantes es el uso de diagramas de árbol, el desarrollo de los cuales lleva a las combinaciones y a la regla del producto y, ambas a su vez, al domino de la fórmula binomial. Palabras clave: binomial, razonamiento, jerarquía, estudiantes de bachillerato, profesores en formación. 1. Introducción La distribución binomial es la más importante distribución discreta y forma parte del contenido de los temas del currículo de matemáticas de bachillerato y de cualquier curso introductorio de probabilidad y estadística. Los objetivos de la mayoría de programas de bachillerato establecen que los estudiantes aprendan a construir distribuciones de probabilidad de variables aleatorias elementales; a calcular e interpretar su valor esperado y su variancia; y a utilizar distribuciones en la solución de problemas (Jones, Langrall y Mooney, 2007). Esto presupone una comprensión y dominio de la fórmula binomial y de los elementos de conocimiento que la constituyen. Es escasa la literatura de investigación empírica que informa sobre el razonamiento de la fórmula binomial. Van Dooren et al. (2003) exploran la presencia de la ilusión de linealidad y muestran que hay estudiantes de bachillerato que a pesar de haber llevado cursos de probabilidad, caen en este sesgo cuando se les plantea problemas binomiales, cuyo enunciado contiene datos que aparentan ser o son proporcionales. Abrahamson (2009a) realiza tres estudios de caso sobre el razonamiento de estudiantes universitarios frente a una situación simple de probabilidad hipergeométrica (la cual es casi-binomial). En Abrahamson (2009b y 2009c) se reporta una entrevista a profundidad con un niño de 11.5 años; utiliza dispositivos de mediación cuya comprensión requiere diferente niveles de abstracción. Landín y Sánchez (2010) informan de las respuestas de 66 estudiantes de bachillerato a 4 tareas relacionadas con la fórmula binomial. Tres de esas tareas inducían un sesgo cognitivo. Proponen una jerarquía para evaluar las respuestas de los estudiantes a tareas