Riemannian Geometrical Effects on the Electronic Properties of Condensed Matters

Abstract

A. Einstein first applied Riemannian geometry to develop the general theory of relativity almost one hundred years ago and succeeded in understanding astronomical-scale phenomena such as the straining of time-space by a gravitational field. It is of great interest to reveal whether or not Riemannian geometry affects the electronic properties of condensed matters on a much smaller scale. Although Riemannian geometry has been applied to quantum mechanics since the 1950s, nobody has yet answered this question, because the electronic properties of materials with Riemannian geometry have not been examined experimentally. We report here the prediction and observation of Riemannian geometrical effects on the electronic properties of one-dimensional metallic uneven peanut-shaped C60 polymer. 1．は じ め に 1916 年，アインシュタインはリーマン幾何学を取り 入れることにより一般相対論を完成させ，重力場により 時空間が歪むことを予想した 1) 。1920 年，光の重力レン ズ効果（曲がった空間を動く光子）の観測 2) により，ア インシュタインの予想は見事に実証された。 1950 年代に，リーマン幾何学（簡単に言えば，曲が った空間を取り扱う幾何学のこと）を取り入れた量子力 学が取り扱われ 3) ，周期的凹凸曲面上の粒子の運動エネ ルギー項の中に理論上現れる幾何曲率項が電子物性に影 響するかどうか興味が持たれてきたが，この幾何曲率効 果（リーマン幾何学効果）を発現しそうな周期的凹凸曲 面をもった物質が無かったため，効果の有無を実証でき なかった。この状況は電磁気学で現れるベクトルポテン シャルと良く似ている。ベクトルポテンシャルは長年数 学的に導入されたものと考えられてきたが，アハラノフ とボームによりベクトルポテンシャルが電子の波動関数 の位相に影響することを理論的に示し（AB 効果） 4) ，そ の後電子線ホログラフィーを用いて，外村らにより AB 効果が実証された 5) 。 筆者らは，超高真空下で作製した C60 薄膜に電子線を 照射することにより，Fig. 1 に示すような 1 次元（1D） 周期的凹凸曲面構造を有するポリマーが生成することを 見いだしてきた 6∼18) 。 このナノカーボンは幾何学的な観点から興味深い（ト ーラス構造等トポロジカルな構造をもつ物質について は，本誌手塚氏の解説記事を参照されたい） 。Table 1 に 幾何学数量であるガウス曲率 k 19) を用いて，ナノカーボ ンファミリーを整理した。グラフェンは k＝0，ナノチ ューブは k＝0（両端がキャップされている場合は，端 の部分のみ k＞0） ，フラーレンは k＞0 と分類される。 このほかに，仮想構造として，k＜0 をもつ Mackay 結 晶 20) が提案され（合成に成功した報告例はない） ，負の ガウス曲率曲面により磁性が発現することが理論予想さ れている 21) 。Fig. 1 に示す 1 次元周期的凹凸曲面構造を 有する C60 ポリマーは，正と負のガウス曲率を有する実 在する物質であることから，フラーレン，ナノチュー