Optimal Trajectory Design for Reentry Flight by using Dynamic Programming

Abstract

Optimal trajectory design for reentry flight is studied by using Dynamic Programming (DP) method. DP is selected to make use of its ability of generating the optimal trajectory in real time as well as its simplicity to handle inequality constraint conditions for the trajectory optimization. The large amount of calculations to reduce discretization error in case of fewer control variables than the state variables is one of the drawbacks, but it is solved with two proposed techniques of Augmented Control Variables (ACV) method and the Least-error Grid-point Selection (LGS) method. 1. は じ め に スペースシャトルは 2011 年に 30 年間にわたる運用を終 えたが，有翼型の宇宙往還機は有人宇宙活動の基本要素で あり，将来宇宙輸送システムの研究において検討は続けら れている．特に，宇宙からの帰還における再突入飛行には 空力加熱の問題があり，機体システム設計において基本課 題を残している．機体システムの検討において再突入飛行 の軌道設計は重要な要素であり，研究の進展のためには設 計条件を変えた数多くの解析を行う必要がある． 本研究は， 軌道最適化の計算を短時間に確実に行うことができる動的 計画法の利点を活かして再突入飛行に応用し，簡単な例題 を用いてその有効性を検討する． 最適制御問題に対しては古くから変分法による数値解法 が確立しており，一般によく利用される 1～3) ．変分法とは Euler-Lagrangeの微分方程式を 2 点境界値問題として解く ものであり，適当な初期解を定めて繰り返し計算を行う必 要があるため，初期値や終端条件，評価関数，拘束条件の 変更に対して調整を必要とする．また，最近では計算機の 処理能力の向上に伴い，制御変数や状態変数を有限個の変 数に離散化し，汎用のパラメータ最適化の数値解析手法を 用いて最適解を求める直接法も使用される 3) ．近年では少 な い 離 散 点 で 高 精 度 の 解 が 得 ら れ る 方 法 と し て Pseudospectral法が盛んに研究されている 4, 5) ．しかし，直接 法には，局所最適解の問題や，与えられた誤差の範囲内に 収めるように反復計算を行うため計算時間が不確実である という欠点がある．再突入飛行の解析ばかりでなく，誘導 制御システムの設計において，扱いやすく短時間で確実に 最適軌道を求めることができる最適化の数値解析手法が求 められている 6) ．この要求を満たす方法として動的計画法 （Dynamic Programming，DP）を選択し，最適制御問題へ の適用可能性について検討する． 動的計画法はHamilton-Jacobi-Bellmanの偏微分方程式を 数値的に解くものであり以下のような利点と欠点を持つ 6) ． 利点 ①システムの状態を有限個の格子点で表し，遷移のすべて の組み合わせを効率よく探索する．格子点間では繰り返し 計算が不要なため計算量が予測でき，軌道生成が確実に可 能となる． ②すべての組み合わせを調べるため大域的最適解が得られ， 局所最適解の問題が生じない． ③状態変数と制御変数に制約条件がある場合でも容易に対 応できる．制約条件の変化に対して計算法が複雑になるこ とがなく，同じアルゴリズムで解くことができる． 欠点 ①状態変数を分割することにより離散化誤差が発生する． この離散化誤差を小さくするため分割の方法に工夫を要す る場合がある． ②制御変数の個数が状態変数の個数よりも少ない場合，格 子点を結ぶ解が極端に少なくなり非常に細かい格子が必要 となる． ③状態変数の次元が大きくなると計算量，メモリ容量が極 端に増加し計算に厖大な時間を要するようになる．この欠 点は動的計画法を提案したBellmanにより「次元の呪い」と 名付けられた 1, 3, 7) ． これらの欠点は動的計画法の適用範囲を狭める原因とな っている．しかし，計算機の能力すなわち計算速度および メモリ容量は近年急速に進歩しており，応用範囲の拡大を 追求すべきである．本研究の目的は，上記の欠点を克服し て動的計画法を適用できる問題の範囲を拡張し，宇宙往還 機システムの研究推進に貢献することである．特に，欠点 ＊1 ©2012 日本航空宇宙学会 平成 23 年 11 月 17 日，日本航空宇宙学会西部支部講演会にて発表 平成 24 年 5 月 28 日原稿受付 ＊2 九州大学大学院工学府航空宇宙工学専攻 ＊3 九州大学大学院工学研究院航空宇宙工学部門