Théorie des distributions à valeurs vectorielles. II

Abstract

Suite et fin de l’article paru dans le tome 7 des Annales de l’Institut Fourier. L’actuel chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologies sur un produit tensoriel L ⊗ M  ; on note ces topologies par L ⊗ λ M , où λ est l’une des 5 lettres τ , γ , β , π , ε . Soient alors L , M , U , V , 4 espaces vectoriels quasi-complets. Pour ξ ∈ L ⊗ ^ λ U , η ∈ M ⊗ ^ ε V , on peut définir “un produit croisé” Γ μ , λ ( ξ , η ) ∈ ( L ⊗ ^ μ M ) ⊗ ^ ε ( U ⊗ ^ λ V ) , dont on étudie systématiquement les propriétés. Plus généralement si ϕ , χ , ψ , ω , sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour ξ ∈ L ⊗ ^ ϕ U , η ∈ M ⊗ ^ χ V , un produit croisé appartenant à ( L ⊗ ^ ψ M ) ⊗ ^ ε ( U ⊗ ω V ) . Ce produit croisé peut être appliqué aux différents produits de 2 distributions à valeurs vectorielles. Soient E , F , G , 3 espaces de Banach, et soit B une application bilinéaire continue de E × F dans G . Soient d’autre part ℋ , 𝒦 , ℒ , 3 espaces de distributions, et soit U une application bilinéaire hypocontinue ( S · T ) → S ∪ T de ℋ × ℋ dans ℒ (par exemple le produit scalaire S · T si 𝒦 = ℋ ′ , ℒ = corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ℋ = 𝒮 ′ , 𝒦 = 𝒪 M ′ ℒ = 𝒮 ′  ; le produit de convolution si ℋ = 𝒮 ′ , 𝒦 = 𝒪 c ′ ′ ℒ = 𝒮 . Alors, si l’espace ℋ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé S → ∪ B T → ∈ ℒ ( G ) , pour 𝒮 → ∈ ℋ ( E ) , T → ∈ ℋ ( F )  ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.