Convergence of the Proximal Point Method for Metrically Regular Mappings

Abstract

In this paper we consider the following general version of the proximal point algorithm for solving the inclusion T (x) 0, where T is a set-valued mapping acting from a Banach space X to a Banach space Y . First, choose any sequence of functions g n : X → Y with g n (0) = 0 that are Lipschitz continuous in a neighborhood of the origin. Then pick an initial guess x0 and find a sequence x n by applying the iteration g n (x n+1 − x n) + T (x n+1) 0 for n = 0, 1, . . . We prove that if the Lipschitz constants of g n are bounded by half the reciprocal of the modulus of regularity of T , then there exists a neighborhood O of ¯ x (¯ x being a solution to T (x) 0) such that for each initial point x 0 ∈ O one can find a sequence x n generated by the algorithm which is linearly convergent to ¯ x. Moreover, if the functions gn have their Lipschitz constants convergent to zero, then there exists a sequence starting from x 0 ∈ O which is superlinearly convergent to ¯ x. Similar convergence results are obtained for the cases when the mapping T is strongly subregular and strongly regular. Résumé. Nous considérons dans ces travaux une généralisation de l'algorithme du point proximal pour résoudre des inclusions du type T (x) 0,ò u T est une application multivoque agissant entre deux espaces de Banach X et Y . Tout d'abord, on se donne une suite de fonctions gn : X → Y telle que chaque fonction g n soit lipschitzienne dans un voisinage de l'origine et vérifie g n (0) = 0. Partant d'un point initial x 0 on construit une suite x n en appliquant la procédure itérative gn(xn+1 − xn) + T (xn+1) 0 for n = 0, 1, . . . On montre que si les constantes de lipschitz des fonctions g n sont bornées supérieurement par la moitié de l'inverse du module de régularité de T , alors il existe un voisinage O de ¯ x (¯ etant une solution de T (x) 0) tel que pour tout point initial x 0 ∈ O on peut trouver une suite x n engendrée par l'algorithme et qui converge linéairement vers ¯ x. De plus, si la suite des constantes de lipschitz des fonctions g n converge vers 0, alors il existe une suite partant du point x0 ∈ O et qui converge super-linéairement vers ¯ x. Des résultats de convergence similaires sont obtenus quand l'application multivoque T est fortement sous -régulì ere et fortementrégulì ere.