Kuramoto Phase Model with Inertia: Bifurcations Leading to the Loss of Synchrony and to the Emergence of Chaos

Abstract

We consider a finite-dimensional model of phase oscillators with inertia in the case of star configuration of coupling. The system of equations is reduced to a nonlinearly coupled system of pendulum equations. We prove that the transition from synchronous to asynchronous oscillations occurs via bifurcation of saddle-node equilibrium. In this connection the asynchronous regime can be partially synchronous rotations. We find that the reverse transition from asynchronous to synchronous regime occurs via bifurcation of homoclinic orbit both of the saddle equilibrium point and of the saddle periodic orbit. In the case of homoclinic loop of the saddle point the synchrony appears only from asynchronous mode without partially synchronized rotations. In the case of the homoclinic curve of the saddle periodic orbit the system undergoes a chaotic rotation regime which results in a random return to synchrony. We establish that return transitions are hysteretic in the case of large inertia. В данной работе рассматривается конечномерная модель Курамото с инерцией в случае топологии типа "звезда". Система уравнений сводится к нелинейно связанной системе маятниковых уравнений. Мы докажем, что переход от синхронных к асинхронным колебаниям происходит через седлоузловую бифуркацию состояния равновесия. Таким образом, асинхронный режим может представлять собой частично синхронные вращения. Обратный переход от асинхронного режима к синхронному происходит через бифуркацию гомоклинической орбиты как седлового состояния равновесия, так и седловой периодической орбиты. В случае гомоклинической петли седла синхронность возникает только из асинхронного режима без частично синхронных вращений. В случае гомоклинической кривой седловой периодической орбиты в системе имеет место хаотический режим вращения, который приводит к случайному возврату синхронности. Установлено, что переходы туда и обратно происходят с гистерезисом при большой инерции.