A local adaptive refinement method with multigrid preconditionning illustrated by multiphase flows simulations.

Abstract

The aim of this paper is to describe some numerical aspects linked to incompressible three-phase flow simulations, thanks to Cahn-Hilliard type model. The numerical capture of transfer phenomenon in the neighborhood of the interface require a mesh thickness which become crippling in the case where it is applied to the whole computational domain. This suggests the use of a local refinement method which allows to dynamically focus on problematic areas. The notion of refinement pattern, introduced for Lagrange finite elements, allows to build a conceptual hierarchy of nested con-formal approximation spaces which is then used to implement the so-called CHARMS local refinement methods. Properties of these methods are proved ensuring in particular the conformity of approximation spaces at every time of simulations. Furthermore, the multilevel structure obtained by this method, is used to construct multigrid preconditioners. Finally, after a validation on a model problem, the performance of the whole method is illustrated on an example of a liquid lens spreading between two stratified fluids. Résumé. L'objectif de l'article est de décrire certains aspects numériques liésliésà la simulation d'´ ecou-lements incompressiblesàincompressiblesà trois phases non miscibles, ` a l'aide de modèlesmodèlesà interfaces diffuses de type Cahn-Hilliard. La capture numérique des phénomènes de transfert au voisinage des interfaces requiert une finesse de maillage qui devient rédhibitoire si elle est appliquéè a l'ensemble du domaine de calcul. Ceci suggère l'utilisation de méthodes de raffinement local adaptatif qui permettent de se focaliser dy-namiquement sur les zones sensibles. La notion de motif de raffinement, introduite pour desélémentsdeséléments finis de Lagrange, permet de construire une hiérarchie conceptuelle d'espaces d'approximation con-formes emboˆıtésemboˆıtés qui est alors utilisée pour mettre en oeuvre les techniques de raffinement local dites CHARMS. Les propriétés de la méthode sont prouvées assurant en particulier la conformité de l'espace d'approximationàapproximationà tout instant des simulations. En outre, la structure multiniveaux obtenue par cette méthode est exploitée pour construire des préconditionneurs multigrilles. Enfin, après une validation sur unprobì eme modèle, les performances de l'ensemble sont illustrées sur un exemple d'´ etalement d'une lentille piégée entre deux phases stratifiées.