Enumeration of Symmetry Classes of Convex Polyominoes in the Square Lattice

Abstract

This paper concerns the enumeration of rotation-type and congruence-type convex polyominoes on the square lattice. These can be defined as orbits of the groups C4, of rotations, and D4, of symmetries, of the square, acting on (translation-type) polyominoes. By virtue of Burnside's lemma, it is sufficient to enumerate the various symmetry classes (fixed points) of polyominoes defined by the elements of C4and D4. Using the Temperley-Bousquet-Mélou methodology, we solve this problem and provide explicit or recursive formulas for their generating functions according to width, height, and area. We also enumerate the class of asymmetric convex polyominoes, using Möbius inversion, and prove that their number is asymptotically equivalent to the number of convex polyominoes, a fact which is empirically evident. Cet article porte sur l'énumération de polyominos à rotations et réflexions près dans un réseau carré. Ces polyominos peuvent être considérés comme des orbites de l'action du groupe diédral D4du carré et de son sous-groupe C4, le groupe des rotations du carré, sur l'ensemble des polyominos convexes (à translations près). Le lemme de Burnside réduit alors le problème à l'énumération des ensembles de points fixes (classes de symétrie) de l'action. Utilisant la méthodologie de Temperley-Bousquet-Mélou, nous donnons des formules explicites ou récursives pour les séries génératrices de ces types de polyominos selon la largueur, la hauteur et l'aire. Nous énumérons aussi, à l'aide de l'inversion de Möbius, la classe des polyominos convexes asymétriques et prouvons que ce nombre est asymptotique à celui des polyominos convexes, un fait mis en évidence expérimentalement. © 1998 Academic Press.