Mesures semi-classiques et croisement de modes

Abstract

L'´ etude de la dynamique semi-classique d'´ electrons dans un cris-tal débouche naturellement sur leprobì eme de l'´ evolution des mesures semi-classiques en présence d'un croisement de modes. Dans ce travail, nousétudionsnousétudions un système 2 × 2 qui présente un tel croisement. ` A cet effet, nous introduisons des mesures semi-classiquesàclassiquesà deuxéchellesdeuxéchelles qui décrivent comment la transformée de Wigner usuelle se concentre sur l'ensemble des trajectoires rencontrant ce croisement. Puis nousétablissons nousétablissons des formules explicites de type Landau-Zener reliant les traces de ces mesures de part et d'autre du croisement. Abstract (Semi-classical measures and eigenvalue crossings).-Semiclassical study of multidimensional crystals leads naturally to the following question: how do semi-classical measures propagate through energy level crossings ? In this contribution, we discuss a simple 2 × 2 system which displays such a crossing. For that purpose, we introduce two-scaled semi-classical measures, which describe how the usual Wigner transforms are concentrating on trajectories passing through the crossing points. Then we derive explicit formulae for the branching of such measures. These formulae are generalizations of the so-called Landau-Zener formulae., 35Q40. Mots clefs.-Mesures semi-classiques (de Wigner), valeurs propres de multiplicité variable, formule de Landau-Zener, convergencè a deuxéchellesdeuxéchelles. Le présent travail a ´ eté réalisé avec le support du réseau européen TMR « Asymptotic Methods in Kinetic Equations », contrat ERB FMRX CT97 057. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉSOCI´SOCIÉTSOCIÉT´SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUEMATH´MATHÉMATIQUE DE FRANCE