Steady Motion of Ice Sheets

Abstract

Steady plane flow under gravity of a symmetric ice sheet resting on a horizontal rigid bed, subject to surface accumulation and ablation, basal drainage, and basal sliding according to a shear-traction-velocity power law, is treated. The surface accumulation is taken to depend on height, and the drainage and sliding coefficient also depend on the height of overlying ice. The ice is described as a general non-linearly viscous incompressible fluid, with illustrations presented for Glen’s power law, the polynomial law of Colbeck and Evans, and a Newtonian fluid. Uniform temperature is assumed so that effects of a realistic temperature distribution on the ice response are not taken into account. In dimensionless variables a small paramter ν occurs, but the ν = 0 solution corresponds to an unbounded sheet of uniform depth. To obtain a bounded sheet, a horizontal coordinate scaling by a small factor ε ( ν ) is required, so that the aspect ratio ε of a steady ice sheet is determined by the ice properties, accumulation magnitude, and the magnitude of the central thickness. A perturbation expansion in ε gives simple leading-order terms for the stress and velocity components, and generates a first order non-linear differential equation for the free-surface slope, which is then integrated to determine the profile. The non-linear differential equation can be solved explicitly for a linear sliding law in the Newtonian case. For the general law it is shown that the leading-order approximation is valid both at the margin and in the central zone provided that the power and coefficient in the sliding law satisfy certain restrictions. On traite de l’écoulement permanent plan sous l’effet de la gravité d’une calotte glaciaire symétrique reposant sur un lit horizontal rigide sous l’influence de l’accumulation et de l’ablation de surface avec évacuation au fond et glissement sur le lit selon une loi exponentielle vitesse/cisaillement. On admet que la surface d’accumulation depénd de la hauteur, les coefficients d’écoulement et de glissement dépendent aussi de la hauteur de la glace susjacente. La glace est considérée comme un fluide incompressible, à viscosité non linéaire, avec des exemples présentés suivant la loi exponentielle de Glen, la loi polynomiale de Colbeck et Evans et la loi de Newton. On admet une température uniforme de sorte que les effets de la distribution réelle des témperatures sur le comportement de la glace ne sont pas pris en compte. En variables sans dimensions un petit paramètre ν intervient, mais la solution ν = 0 correspond à une calotte non limitée d’épaisseur uniforme. Pour obtenir une calotte finie, il faut pondérer les coordonnées horizontales par un petit facteur ε ( ν ) de sorte que le rapport de relief ϵ d’une calotte en état d’équilibre est déterminé par les propriétés de la glace, l’importance de l’accumulation et l’ordre de grandeur de l’épaisseur au centre. Une perturbation par expansion de ε donne des modifications simples des termes réglant les composantes de contrainte et de vitesse, et entraîne une équation différentielle non linéaire de premier ordre pour la pente de la surface libre, qu’on peut alors intégrer pour déterminer le profil, L’équation différentielle linéaire peut être résolue explicitement pour une loi linéaire de glissement dans le cas de l’écoulement Newtonien. Pour la loi générale, on montre que l’approximation de premier ordre est valable à la fois sur la zone de bordure et au centre pourvu que l’exposant et le coefficient de la loi de glissement satisfassent certaines conditions. Es wird der stationäre, ebene Fluss unter Schwer-kraft eines symetrischen Eisschildes behandelt, der auf einem horizontalen starren Bett auf liegt, an seiner Oberfläche Akkumulation und Ablation erfährt, ein Abflusssystem am Untergrund besitzt und dort nach einem Exponentialgesetz zwischen Scherspannung und Geschwindigkek gleitct. Für die Akkumulation an der Oberfläche wird Höhenabhängigkeit angenommen; auch der Abfluss und der Gleitkoeffizient sollen von der Höhe des überlagernden Eises abhängen. Das Eis gilt als eine im allgemeinen nicht linear viskose, inkompressible Flüissigkeit, wobei Beispiele für Glen’s Exponentialgesetz, für das Polynomgesetz von Colbeck und Evans und Für eine Newton’sche Flüssigkeit herangezogen werden. Es wird gleichförmige Temperatur angenommen, weshalb die Einflüsse einer tatsächlichen Temperaturverteilung auf das Verhalten des Eises nicht berücksichtigt werden. Bei dimensionslosen Variablen tritt ein kleiner Parameter ν auf, doch entspricht die Lösung für ν = 0 einem unbegrenzten Eisschiid konstanter Dicke. Für einen begrenzten Eisschild wird eine horizontale Koordinatenbeziffcrung mit einem kleinen Faktor ε ( ν ) benötigt, so dass das Verhältnis ε eines stationären Eisschildes durch die Eigenschaften des Eises, die Grösse der Akkumulation und die Dicke im Zentrum bestimmt wird. Eine Störungsexpansion in ε gibt einfache Richtwertausdrücke für die Komponenten der Spannung und Geschwindigkeit und führt zu einer nichtlinearen Differentialgleichung 1. Ordnung für die Neigung der freien Oberfläche, deren Integration das Profil liefert; sie kann explizit für ein lineares Gleitgesetz im Newton’schen Fall gelöst werden. Für den allgemeinen Fall wird gezeigt, dass die Richtwertnäherung sowohl am Rand wie im Zentrum gilt, sofern die Potenz und der Koeffizient im Gleitgesetz bestimmten Einschränkungen genügen.