Prékopa–Leindler type inequalities on Riemannian manifolds, Jacobi fields, and optimal transport

Abstract

We investigate Prékopa-Leindler type inequalities on a Riemannian manifold M equipped with a measure with density e −V where the potential V and the Ricci curvature satisfy Hess x V + Ric x ≥ λ I for all x ∈ M , with some λ ∈ R. As in our earlier work [14], the argument uses optimal mass transport on M , but here, with a special emphasis on its connection with Jacobi fields. A key role will be played by the differential equation satisfied by the determinant of a matrix of Jacobi fields. We also present applications of the method to logarithmic Sobolev inequalities (the Bakry-Emery criterion will be recovered) and to transport inequalities. A study of the displacement convexity of the entropy functional completes the exposition. Résumé Nou etudions l'extension d'inégalités de type Prékopa-Leindler au cas d'une variété riemannienne equipée d'une mesure ayant une densité e −Vò u le potentiel V et la courbure de Ricci vérifient Hess x V + Ric x ≥ λ I (∀x ∈ M), pour un certain λ ∈ R. Nous ferons appel, comme dans notre travail précédent [14], au transport optimal de mesure. Mais nous exploiterons plus encore son lien avec les champs de Jacobi, ce qui permettra de ramener la discussio a l etude du déterminant d'une matrice de champs de Jacobi. Nous présenton egalement d'autres applications de la méthode, en particulier aux inégalités de Sobolev logarithmiques (cri ere de Bakry-Emery) e a l etude de la convexité de déplacement de la fonctionnelle entropie.