Geometrical evolution of developed interfaces

Abstract

Consider the reaction-diffusion equation in R N × R + : u t − h 2 Δ u + φ ( u ) = 0 ; φ {\mathbb {R}^N} \times {\mathbb {R}^ + }:{u_t} - {h^2}\Delta u + \varphi (u) = 0;\varphi is the derivative of a bistable potential with wells of equal depth and h h is a small parameter. If the initial data has an interface, we give an asymptotic expansion of arbitrarily high order and error estimates valid up to time O ( h − 2 ) O({h^{ - 2}}) . At lowest order, the interface evolves normally, with a velocity proportional to the mean curvature. Soit l’équation de réaction-diffusion dans R N × R + , u t − h 2 Δ u + φ ( u ) = 0 {\mathbb {R}^N} \times {\mathbb {R}^ + },\quad {u_t} - {h^2}\Delta u + \varphi (u) = 0 , avec φ \varphi la dérivée d’un potentiel bistable à puits également profonds et h h un petit paramètre. Pour une condition initiale possédant une interface, on donne un développement asymptotique d’ordre arbitrairement élevé, ainsi que des estimations d’erreur valides jusqu’à un temps en O ( h − 2 ) O({h^{ - 2}}) . A l’ordre le plus bas, l’interface évolue normalement, à une vitesse proportionnelle à la courbure moyenne.