Drehschwingungen

Abstract

1.2.1 Der freie ungedämpfte Oszillator Ein Oszillator, bei dem die Rückstellkraft í µí°¹ ⃗ proportional zur Auslenkung í µí± ⃗ gemäß í µí°¹ ⃗ = −í µí±˜ · í µí± ⃗ í µí±˜: Federkonstante, [í µí±˜] = N·m-1 (1) ist, heißt harmonischer Oszillator. Die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators mit der Masse í µí±š ergibt sich bei vernachlässigbarer Reibung aus der Kraftbilanz í µí±š · í µí± ⃗ ̈ + í µí±˜ · í µí± ⃗ = 0. (2) Im vorliegenden Versuch wird als Oszillator ein drehbar gelagertes Metallrad mit dem Trägheitsmo-ment í µí°½ verwendet. Durch eine Spiralfeder wirkt auf das Rad bei einer Auslenkung um den Winkel í µí¼‘ aus seiner Ruhelage ein rückstellendes Drehmoment í µí±€ = −í µí°· · í µí¼‘. í µí°·: Direktionsmoment der Feder, [í µí°·] = N·m (3) In Analogie zu Gleichung (2) ist die Bewegungsgleichung des Metallrades í µí°½ · í µí¼‘̈ + í µí°· · í µí¼‘ = 0 (4) Als Lösungsansatz dieser Differentialgleichung wird verwendet: í µí¼‘(í µí±¡) = í µí¼‘ 0 · sin(í µí¼” 0 · í µí±¡ − í µí»¼) (5) Die Konstanten í µí¼‘ 0 und í µí»¼ sind durch die Anfangsbedingungen í µí¼‘(í µí±¡ = 0) und í µí¼‘̈ (í µí±¡ = 0) bestimmt. Man setzt die Gleichung (5) in (4) ein und erhält die Kreisfrequenz í µí¼” 0 des harmonischen Oszillators í µí¼” 0 =. (6) Insbesondere sind die Eigenfrequenz und damit die Schwingungsdauer beim harmonischen Oszillator also unabhängig von der Amplitude der Schwingung. 1.2.2 Der freie gedämpfte Oszillator Bei mechanischen Oszillatoren nimmt wegen der unvermeidbaren Reibungskräfte die Amplitude der Schwingung mit der Zeit ab. Damit entsteht eine gedämpfte Schwingung. In vielen (aber nicht allen) Fällen ist Reibungskraft in erster Näherung zur Geschwindigkeit proportional und zu dieser entgegen-gesetzt gerichtet. Bei einem solchen linear gedämpften Oszillator gilt dann í µí°¹ ⃗ í µí± = −í µí»¾ · í µí± ⃗ ̇. (7) Die Konstante  wird als Reibungsfaktor bezeichnet. Bei dem verwendeten Drehpendel läuft ein Teil des Metallrades durch das Feld eines Elektromagneten (Bild 2). Die mitbewegten Elektronen erfahren eine Lorentzkraft, werden senkrecht zur Feld-und Be-wegungsrichtung des Rades abgelenkt und fließen anschließend durch den feldfreien Teil des Rades zurück. Dadurch entsteht ein geschlossener Wirbelstromkreis. √ í µí°· í µí°½