A remark on the blowing-up of solutions to the Cauchy problem for nonlinear Schrödinger equations

Abstract

We consider solutions to i u t = Δ u + | u | p − 1 u i{u_t} = \Delta u + {\left | u \right |^{p - 1}}u , u ( 0 ) = u 0 u(0) = {u_0} , where x x belongs to a smooth domain Ω ⊂ R N \Omega \subset {{\mathbf {R}}^N} , and we prove that under suitable conditions on p p , N N and u 0 ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) {u_0} \in {H^2}(\Omega ) \cap H_0^1(\Omega ) , ‖ ∇ u ( t ) ‖ L 2 {\left \| {abla u(t)} \right \|_{{L^2}}} blows up in finite time. The range of p p ’s for which blowing-up occurs depends on whether Ω \Omega is starshaped or not. Examples of blowing-up under Neuman or periodic boundary conditions are given. On considère des solutions de i u t = Δ u + | u | p − 1 u i{u_t} = \Delta u + {\left | u \right |^{p - 1}}u , u ( 0 ) = u 0 u(0) = {u_0} , où la variable d’espace x x appartient à un domaine régulier Ω ⊂ R N \Omega \subset {{\mathbf {R}}^N} , et on prouve que sous des conditions adéquates sur p p , N N et u 0 ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) {u_0} \in {H^2}(\Omega ) \cap H_0^1(\Omega ) , ‖ ∇ u ( t ) ‖ L 2 {\left \| {abla u(t)} \right \|_{{L^2}}} explose en temps fini. Les valeurs de p p pour lesquelles l’explosion a lieu dépend de la forme de l’ouvert Ω \Omega (en fait Ω \Omega étoilé ou non). On donne également des exemples d’explosion sous des conditions de Neuman ou périodiques au bord.