First-Order Stresses and Deformations in Glaciers and Ice Sheets

Abstract

In this article the distribution of stress and velocities in glaciers and ice sheets is reinvestigated. We first derive the general equations governing non-linear viscous flow under plane deformations and formulate the relevant boundary conditions, including, in particular, a proper treatment of the accumulation–ablation mechanism. It is then shown how the emerging set of non-linear equations for the established boundary-value problem can be separated into a system covering steady-state problems on the one hand, and transient, time-dependent processes on the other hand. This separation is performed under the assumption that steady-state stresses are larger than the corresponding transient counterparts, suggesting a linearization of the transient equations with regard to the stresses. The steady-state equations are then analysed for the special case of an infinitely long, nearly parallel-sided slab. With the assumption that bottom undulations are small as compared to the glacier thickness it is shown that the original non-linear boundary-value problem can be decomposed into an infinite hierarchy of boundary-value problems defined on the simpler domain of the exactly parallel-sided slab, all of which are linear except for the lowest order one. Since its solution is readily available, the determination of the velocities and stresses due to bedrock protuberances is basically a linear problem, even though the constitutive response may be non-linear. Assuming harmonic bedrock undulations we show for a Navier–Stokes fluid that the transfer of the bedrock undulations to the surface strongly depends on the mean inclination of the slab, but, more importantly, does now show a maximum when plotted as a function of wavelength λ. This result is contradictory to the corresponding results of Budd (1970[a]) and implies serious drawbacks to his calculations of longitudinal stresses and strain-rates in his subsequent article (Budd, 1970[b]). Yet, it is not true that for maximal transfer of bottom protuberances to the surface a distinct wavelength would not exist. The calculations of Budd must rather be extended to include non-linear constitutive behaviour, variations of temperature with depth, and sliding at the bed. It then turns out that under certain circumstances maximal transfer of bottom undulations to the surface in a distinct wavelength domain (3 < λ < 5) may indeed exist. Sliding at the bed and vertical temperature variation thereby play a decisive role. Equally important is the stress distribution at the base, in particular the influence of the longitudinal strain effects on the latter. Rheological non-linearities, vertical temperature variations, and the sliding law at the bed play an important role and are investigated in detail.For non-linear constitutive behaviour and spatially dependent temperature-variation solutions must be sought numerically. The finite-difference scheme used suggests a generalization of Glen’s flow law so as to account for a nearly linear behaviour at low strain-rates.We conclude with a perspective of possible extensions of the general theory to various other time-dependent and time-independent problems.Le présent article est une réinvestigation de la distribution des vitesses et des tensions dans les glaciers et les calottes de glace. Nous établissons d’abord les équations générales du mouvement visqueux non linéaire dans les cas de déformations planes et formulons les conditions aux limites en tenant compte des phénomènes d’accumulation et d’ablation. Nous montrons ensuite que le système d’équations différentielles non linéaires obtenu peut être dissocié d’une part en problèmes stationnaires, d’autre part en problèmes transitoires. Cette dissociation suppose que les tensions stationnaires prévalent suffisamment sur les tensions transitoires, ce qui permet une linéarisation des équations transitoires relatives aux tensions. Les équations de l’état stationnaire sont ensuite examinées dans le cas spécial d’une couche presque parallèle et infiniment longue. Dans l’hypothèse où les inégalités du sol sont petites par rapport à l’épaisseur du glacier, nous montrons que le problème non linéaire des conditions aux limites peut être divisé en une hiérarchie infinie de problèmes, qui eux sont définis dans le domaine plus simple de la couche exactement parallèle et qui sont tous linéaires, à l’exception de celui du plus bas ordre. La solution de ce dernier étant facile à trouver, la détermination des vitesses et des tensions dues aux inégalités du sol est ramenée à un problème linéaire, bien que les lois de la mécanique des matériaux ne soient, pas nécessairement linéaires. Dans le cas d’ondulations sinusoidales du sol, nous montrons que, pour un liquide Navier–Stokes, la transmission de ces ondulations à la surface du glacier dépend fortement de l’inclinaison moyenne de la couche, mais aussi, et ceci est plus important, que la fonction de transfert dépendant de l’écartement des ondulations, n’a pas de maximum. Ce résultat contredit nettement les résultats de Budd (1970[a]) et suscite des doutes en ce qui concerne ses calculs de tensions et de vitesses de déformation (Budd, 1970[b]). Ceci ne veut pas dire qu’une longueur d’onde déterminée n’existerait pas pour un transfert maximum des inégalités du sol à la surface. Les calculs de Budd devraient plutôt être développés afin d’y inclure les lois de la mécanique non linéaire des matériaux, les variations de température et le glissement au sol. Il en découle que dans certaines conditions un transfer maximum des inégalités du sol à la surface peut exister en effet pour une certaine longueur d’onde (3 < λ < 5). Le glissement au sol et la variation verticale de la température y jouent cependant un rôle décisif. La même importance revient à la distribution des tensions au sol, en particulier l’influence des déformations longitudinales sur ce dernier. Un comportement rhéologique non linéaire, les variations verticales de la température et la loi de glissement au sol jouent un rôle important et sont analyés en détail.Pour un comportement non linéaire de la matière et une variation de température dépendent du lieu les solutions doivent être trouvées d’une manière numérique. A cause du schéma des différences finies employé dans ce travail il était cependant nécessaire de généraliser la loi de Glen et de tenir compte du comportement linéaire des matériaux sous faible tension.En fin d’article nous donnons une vue du développement de la théorie générale appliquée à différents autres problèmes comportant ou ne comportant pas la variable temps.In der vorliegenden Arbeit wird die Geschwindigkeits- und Spannungsverteilung in Gletschern und Eisplatten einer neuerlichen Überprüfung unterzogen. Zuerst werden die allgemeinen Gleichungen für nichtlineares zähes Fliessen unter ebenen Deformationen hergeleitet sowie die relevanten Randbedingungen einschliesslich der Akkumulation–Ablation formuliert. Es wird dann gezeigt, wie das daraus hervorgehende System von nichtlinearen Differentialgleichungen für das aufgestellte Randwertproblem aufgespalten werden kann in stationäre Probleme einerseits und zum anderen in die transienten Probleme zeitabhängiger Prozesse. Diese Aufspaltung wird unter der Voraussetzung vorgenommen, dass die stationären Spannungsanteile die transienten hinreichend überwiegen, was eine Linearisierung der transienten Feldgleichungen bezüglich der Spannungen ermöglicht und nahelegt. Die Gleichungen des stationären Zustandes werden dann für den Spezialfall einer fast parallelen unendlich langen Schicht untersucht. Unter der Annahme dass die Bodenunebenheiten klein sind im Vergleich zur Dicke des Gletschers wird gezeigt, dass das nichtlineare Randwertproblem in eine unendliche Hierarchie von Randwertproblemen aufgespalten werden kann, die ihrerseits auf dem einfacheren Bereich der exakt parallelen Schicht definiert sind und alle mit Ausnahme der niedrigsten Ordnung linear sind. Da dessen Lösung leicht bestimmt werden kann, wird die Bestimmung der Geschwindigkeiten und Spannungen zufolge der Bodenunebenheiten im Wesen auf ein lineares Problem zurückgeführt, obwohl die Materialgesetze auch nicht-linear sein können. Unter der Annahme harmonischer Bodenwellen wird für eine Navier–Stokes-Flüssigkeit gezeigt, dass die Übertragung der Bodenwellen auf die Oberfläche stark von der mittleren Neigung der Schicht abhängt, aber, noch wichtiger, dass die Transferfunktion in Abhängigkeit von der Wellenlänge kein Maximum aufweist. Dieses Resultat steht im Widerspruch zu entsprechenden Resultaten von Budd (1970[a]) und erweckt Zweifel an seinen Berechnungen von Spannungen und Verzerrungsgeschwindigkeiten in seiner Arbeit (Budd, 1970[b]). Es ist jedoch nicht so, dass für maximalen Transfer von Bodenunebenheiten auf die Oberfläche keine ausgezeichnete Wellenlänge existierte. Vielmehr sind die Buddschen Rechnungen auf nichtlineare Stoffgleichungen, Berücksichtigung der Temperaturvariationen und Gleiten am Bett zu erweitern. Es zeigt sich dann, dass unter bestimmten Voraussetzungen in der Tat maximale Übertragung von Bodenunebenheiten auf die Oberfläche für einen bestimmten Wellenlängenbereich (3 < λ < 5) möglich ist. Gleiten an der Sohle und vertikale Temperaturvariation spiel dabei eine entscheidende Rolle. Von ebensolcher Wichtigkeit ist auch die Spannungsverteilung an der Sohle, insbesondere der Einfluss longitudinaler Verzerrungseffekte auf die letztere. Rheologische Nichtlinearitäten, Temperaturverteilung und das Gleitgesetz der Sohle spielen dabei eine wichtige Rolle und werden im Detail untersucht.Für nichtlineares Materialverhalten und ortsabhängige Temperaturverteilung müssen die Lösungen auf numerischem Wege gesucht werden. Es war wegen des verwendeten Differenzenschemas aber nötig das Glen’sche Gesetz zu verallgemeinern und das lineare Stoffverhalten bei kleinen Spannungen zu berücksichtigen.Wir schliessen mit einer Perspektive zur Ausdehnung der allgemeinen Theorie auf verschiedene andere sowohl zeitabhängiger wie zeitunabhängiger Probleme.