Subgroups of Point and Space Groups

Abstract

これまでの連載企画： 「対称性と群論」 1）-3） で，ヘルマ ン・モーガン記号（国際記号） ，空間群の分類およびミ ラー指数を解読した．今回は部分群を紹介する．部分群 の理解は，結晶構造の類似性や変化に関して幅広い応 用のある概念だが，それを説明するためにまずはいくつ かの基礎概念を導入する必要がある． G をある群だとする．G の元（element） ＊1 の数を位数 （order）といい， ｜G｜という記号で示す．点群は有限群で あるのに対して，空間群は無限群である．なぜならば， 無限個の並進操作を含むからである． G の一部の元を選択し，これらの元がまた群を形成す るなら H は G の部分群である．そして，G と H の位数の 比を｜G｜/ ｜H｜と表示し，これを指数（index）という． 対称操作の行列表現を簡単に表示するためにサイズ記 号（Seitz symbol）が便利である．サイズ記号 ｛ W｜w ｝ は， 線型部分 W と並進部分 w でできている．例えば，0， y， ¼ を通る ［010］ 方向に平行な 2 回螺旋操作は，行列・ベク トルペアまたはサイズ記号で以下のとおり示すことがで きる． 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1 2 1 2 010 1 2 1 2             { } ; | 以下，サイズ記号を利用する． 1．点群の部分群．剰余類，部分群の分類 G をある点群そして H をその部分群とし，G を H を用 いて分割すると｜G｜/ ｜H｜個の集合が得られる．その 1 つは H そのもので，残りの （｜G｜/ ｜H｜-1） 個の集合は群ではな い．なぜならば，1）恒等操作は H にしか属しない；2） H 以外の集合は内部算法が成り立たないからである．各集 合の元の数は｜H｜と同じで，基数（cardinality） という． ＊2 そしてこれら集合は剰余類（傍系，coset）と呼称する． 具体的な例を示そう．4mm の点群の位数は 8 であり， 以下の元で形成されている． 4mm ＝ ｛ 1， 4 1 ［001］ ， 4 2 ［001］ ＝2 ［001］ ， 4 3 ［001］ ＝ 4-1 ［001］ ， m ［100］ ， m ［010］ ， m ［110］ ， m ［110］ ｝. そして点群 4mm に関しては，指数 2 （位数 4） の部分群 が 3 つ存在する． ① ｛ 1， 4 1 ［001］ ， 4 2 ［001］ ＝2 ［001］ ， 4 3 ［001］ ＝ 4-1 ［001］ ｝ ＝ 4 ② ｛ 1， 4 2 ［001］ ＝ 2 ［001］ ， m ［100］ ， m ［010］ ｝ ＝ 2mm. ③ ｛ 1， 4 2 ［001］ ＝ 2 ［001］ ， m ［110］ ， m ［110］ ｝ ＝ 2.mm ②と③は同様な対称操作で形成されているが，一部の 幾何的要素は一致しない．4mm から 2mm に対称性が低 下すると，格子の対称方向も 5 本（ 正方晶系 ）から 3 本 （直方 （斜方） 晶系）となる．しかし， （hk0） 面内に残存す る対称方向は正方の 〈100〉方向か正方の 〈110〉の 2 つの 可能性があるため，直方 （斜方） の軸を利用し点群のヘル マン・モーガン記号を書き直すと，対称性の低下による 残存する鏡映面を同定しづらくなる．そのために，ここ では軸の変換をせずに，残存しない鏡映面をドット （. ） で表示し，2mm. と 2.mm という記号を利用する．この 2 つの点群は同一ではなく，同型群（isomorphic group）で あり，同じ点群タイプに属する． 演習問題 1 422 という点群から指数 2 の部分群を導き， 点群タイプで分類せよ． さらに，指数 4（位数 2）の部分群は 5 つ存在する． ① 2＝ ｛ 1， 4 2 ［001］ ＝ 2 ［001］ ｝ ，② .m.＝ ｛ 1， m ［100］ ｝ ， ③ .m.＝ ｛ 1， m ［010］ ｝ ，④ ..m＝ ｛ 1， m ［110］ ｝ ，⑤ ..m＝ ｛ 1， m ［110］ ｝. ＊ 1 著者によって群の element は 「元」 か 「要素」 と呼ばれている． 結晶学では「要素」はすでに別の意味（幾何的要素，対称要 素：文献 1） を参照） で使われている．混乱を避けるためにこ こでは「元」を利用する． ＊ 2 「位数」という語彙は群の元の数を表す．群を形成しない集 合の場合は「位数」を利用せず， 「基数」という．英語では剰 余類の基数は 「length of the coset」 という表現が一般に利用さ れている． 演習問題の解答は J-Stage に付録として掲載してあります．