Conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle dont le nombre de rotation vérifie une condition diophantienne

Abstract

RÉSUMÉ. — Nous démontrons le résultat suivant, qui généralise un théorème de M. R. Herman : si le nombre de rotation d'un difféomorphisme du cercle / de classe C 00 satisfait à une condition diophantienne, / est C°°-conjugué à une rotation. Le résultat est optimal pour la conjugaison C°°. ABSTRACT. — Thé following resuit is proved, generalizing a theorem of M.R. Herman: any smooth diffeomorphism of thé circle whose rotation number is of diophantine type is smoothly conjugated to a rotation. Thé resuit is thé best possible for smooth conjugacy. 0. Introduction On se propose dans cet article de généraliser un théorème de M. R. Herman ([HJ) en donnant la condition optimale sur un nombre irrationnel a pour que tout difféomorphisme lisse du cercle préservant l'orientation dont le nombre de rotation est a soit différentiable-ment conjugué à une rotation. Le cercle est noté J 1 =R/Z. On désigne par Difr+(T 1) (r=0, rréel ^ 1, r= +00 ou r==oe) le groupe des difféomorphismes de classe C 1 ' (analytiques lorsque r=oe) qui préser-vent l'orientation. Il est souvent plus commode de travailler dans le revêtement universel D^T 1) qui est le groupe des difféomorphismes / de classe C'' de la droite réelle tels que /-idnç soit Z-périodique. Pour ae R (resp. aeT 1), on note R^eD" (T 1) (resp. e Diff®. (T 1)) l'application x -> x -h a. On peut définir, après Poincaré, le nombre de rotation p(/)elR (resp. p(/)eT 1) d'un difféomorphisme/eD°(T 1) (resp. /eDiff 0 -(T 1)). Le lecteur pourra consulter les premiers chapitres de [HJ sur les propriétés des groupes D^T 1), Difr+ (T 1) et du nombre de rotation. Celles de ces propriétés qui nous serviront seront rappelées le moment venu. Signalons simplement que p(RJ ==a, que le nombre de rotation est invariant par conjugai-son dans les groupes D°(T 1) ou Diff 0 . (T 1) et que p(/) est rationnel pour/eDiff°.(T 1) si et seulement si / admet une orbite périodique. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. — 0012-9593/84/03 333 27/$ 4.70