Désingularisation des variétés de Schubert généralisées

Abstract

Soient k un corps, G un groupe algébrique semi-simple déployé sur k, B un groupe de Borel de G, X l'adhérence d'une orbite de B dans G/B (« variété de Schubert généra-lisée »). On construit (1) ci-dessous une variété lisse Z et un morphisme birationnel / : Z—^X; la variété Z est obtenue par des fibrations successives en droites projectives, et, dans le cas où X = G/B, est l'analogue direct de l'espace construit par Bott et Samelson dans [1], p. 970, dans le cas des groupes de Lie compacts; c'est pourquoi on appelle ici Z une « variété de Bott-Samelson ». Cette construction est donnée au paragraphe 3, après que le paragraphe 2 ait été consacré à l'étude détaillée des fibrations en droites projectives, notamment en ce qui concerne la cohomologie des fibres vectoriels. Au paragraphe 4, on montre comment cette construction permet de calculer très simple-ment l'anneau de Chow A (G/B), ainsi que différentes structures qui lui sont attachées; en particulier, nous donnons une démonstration de tous les résultats d'un célèbre manus-crit de C. Chevalley [5], resté impublié depuis 1958 (2). Au paragraphe 5, on démontre le théorème suivant (5.4, th. 1) : THÉORÈME. — Supposons k de caractéristique 0, et soit oêf un module inversible sur G/B tel que H° (G/B, Jêf) ^ 0. Alors W (X, J^f) = 0 pour q > 0 et rhomomorphisme canonique H° (G/B, ^) -> H° (X, J^f) est surjectif. On démontre aussi que /^ (0^) = 0^ et que R^/^ (^z) = 0 pour q > 0, de sorte que / : Z —> X est alors une désingularisation de X dans le sens le plus fort du terme et que X est de Cohen-Macaulay, et en particulier normale. On obtient enfin une « formule des caractères » pour la représentation naturelle de B dans H° (X, J^f). Tous ces résultats (à l'exception du fait que X est de Cohen-Macaulay) restent valables en caractéristique quelconque pourvu que l'on vérifie une conjecture d'énoncé fort simple sur les « réseaux admissibles » [n° 5.3, condition (8)]. (1) Ajouté sur épreuves. — Cette construction était déjà connue, cf. H. C. HANSEN, On cycles on flag manifolàs, Math. Scand., vol. 33, 1973, p. 269-274. (2) Signalons que dans le cas où k = C, auquel cas on peut remplacer A (G/B) par l'anneau de coho-mologie H* (G (C)/B (C), Z), une démonstration de ces résultats vient d'être publiée au tome 28-3 des Ouspekhi par I. N. Bernstein, I. M. Gelfand et S. I. Gelfand.