Sur certains espaces vectoriels topologiques

Abstract

Cet article se rattache à un précédent travail paru dans ces mêmes annales (I, 1949, p. 61-101) : la dualité dans les espaces F et LF , par Dieudonné-Schwartz. La plupart des résultats énoncés antérieurement sont encore valables dans les espaces vectoriels appartenant à l’une ou l’autre des 2 catégories : bornologiques et tonnelés. Un espace vectoriel topologique localement convexe séparé est tonnelé si toute partie convexe, cerclée, fermée, engendrant l’espace, est un voisinage de O . Tout espace vectoriel localement convexe séparé qui est un espace de Baire, en particulier tout espace F , est tonnelé ; tout espace LF est aussi tonnelé. La propriété fondamentale est la suivante : si E est tonnelé, F localement convexe, toute partie de L ( E , F ) bornée pour la topologie de la convergence simple est équicontinue. D’où la généralisation du théorème classique de Banach-Steinhaus sur la limite simple d’une suite d’applications linéaires continues. Un espace vectoriel topologique localement convexe séparé est bornologique si toute partie convexe, cerclée, capable d’absorber toute partie bornée, est un voisinage de O . Si E est bornologique, F localement convexe, toute application linéaire, qui transforme toute partie bornée de E en une partie bornée de F , est continue, et l’espace L ( E , F ) , muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées, est complet. Enfin la fin de l’article étudie les applications bilinéaires ; en dehors du cas des espaces de Banach, celles qu’on rencontre en général ne sont pas continues, mais possèdent une continuité partielle, qui permet de les appeler hypocontinues ; un théorème de prolongement d’une application bilinéaire hypocontinue définie sur des sous-ensembles denses existe comme pour les applications linéaires continues.